كرة هيل

لحساب كرة هيل للأرض، نحتاج إلى: a = 1 وحدة فلكية (المسافة بين الأرض والشمس)، e = 0.0167 (اللا مركزية المدارية للأرض)، m = 1 كتلة أرضية = 3.003 × 10^-6 كتلة شمسية (لأن كتلة الشمس حوالي 333,000 كتلة أرضية)، M = 1 كتلة شمسية. نطبق الصيغة: r = 1 * (1 - 0.0167) * (3.003e-6 / 3)^(1/3) = 0.9833 * (1.001e-6)^(1/3). الجذر التكعيبي لـ 1.001e-6 ≈ 0.01 (لأن (0.01)^3 = 1e-6). إذن r ≈ 0.9833 * 0.01 = 0.009833 وحدة فلكية. بتحويلها إلى كيلومترات: 0.009833 * 149.6 مليون كم ≈ 1.47 مليون كم. هذا هو نصف قطر كرة هيل للأرض، أي المنطقة التي تسيطر فيها جاذبية الأرض على الأقمار والأجسام الصغيرة. يلاحظ أن القمر يدور على بعد حوالي 384,400 كم، وهو داخل كرة هيل، مما يجعله تابعًا مستقرًا.

المشتري: a = 5.203 وحدة فلكية، e = 0.0484، m = 1 كتلة مشترية = 0.001 كتلة شمسية (تقريبًا، بالضبط 9.55e-4)، M = 1 كتلة شمسية. الصيغة: r = 5.203 * (1 - 0.0484) * (0.001 / 3)^(1/3) = 5.203 * 0.9516 * (0.0003333)^(1/3). الجذر التكعيبي لـ 0.0003333 ≈ 0.0693 (لأن 0.0693^3 ≈ 0.000333). إذن r = 5.203 * 0.9516 * 0.0693 ≈ 0.343 وحدة فلكية. بالكيلومترات: 0.343 * 149.6 ≈ 51.3 مليون كم. هذا يفسر وجود أقمار المشتري الكثيرة، حيث أن كرة هيل كبيرة. في الحقيقة، معظم أقمار المشتري تدور ضمن 30 مليون كم، لكن بعض الأقمار غير المنتظمة تصل إلى 30 مليون كم، وهي أقل من نصف قطر كرة هيل. ملاحظة: الصيغة تفترض كتلة صغيرة، لكن المشتري كتلته كبيرة (0.1% من الشمس)، لذا قد تكون الصيغة تقريبية.