نصف قطر ISCO

أولاً، نحدد المعطيات: الكتلة M = 10 M☉ = 10 × 1.989 × 10^30 كجم = 1.989 × 10^31 كجم. نطبق المعادلة: r = 6GM/c² = 6 × (6.674 × 10⁻¹¹) × (1.989 × 10^31) / (2.998 × 10^8)². نحسب البسط: 6 × 6.674 × 10⁻¹¹ × 1.989 × 10^31 = 6 × (1.327 × 10^21) = 7.962 × 10^21 (بتقريب). المقام: (2.998 × 10^8)² = 8.988 × 10^16. إذن r = 7.962 × 10^21 / 8.988 × 10^16 = 8.86 × 10^4 متر = 88.6 كيلومتر. هذا يعني أن أي جسم (مثل غاز أو نجم) يدور على مسافة أقل من 88.6 كم من مركز الثقب الأسود سيسقط فيه، ولا يمكنه الحفاظ على مدار مستقر. لاحظ أن نصف قطر شفارتزشيلد لهذا الثقب هو Rs = 2GM/c² = 29.5 كم، وأن ISCO = 3Rs = 88.5 كم، وهو ما يتوافق. هذا مثال يوضح كيف أن ISCO هو ثلاثة أضعاف نصف قطر الأفق.

الكتلة M = 4 × 10^6 M☉ = 4 × 10^6 × 1.989 × 10^30 = 7.956 × 10^36 كجم. نطبق الصيغة: r = 6GM/c² = 6 × (6.674 × 10⁻¹¹) × (7.956 × 10^36) / (8.988 × 10^16). نحسب البسط: 6 × 6.674 × 7.956 × 10^25 ≈ 6 × 5.31 × 10^26 = 3.186 × 10^27. إذن r = 3.186 × 10^27 / 8.988 × 10^16 = 3.545 × 10^10 متر. لتحويل إلى كيلومتر: 3.545 × 10^7 كم. إلى وحدات فلكية: 1 وحدة فلكية = 1.496 × 10^8 كم، لذا r ≈ 3.545 × 10^7 / 1.496 × 10^8 = 0.237 وحدة فلكية. إلى سنة ضوئية: 1 سنة ضوئية ≈ 9.461 × 10^12 كم، لذا r ≈ 3.545 × 10^7 / 9.461 × 10^12 = 3.75 × 10⁻⁶ سنة ضوئية. هذا أصغر بكثير من المسافات بين النجوم. النتيجة: ISCO لهذا الثقب الهائل يبعد حوالي 0.24 وحدة فلكية، أي أقل من نصف المسافة بين الأرض والشمس. الأجسام التي تقترب أكثر من ذلك ستسقط حتماً. هذا الحد مهم جداً في دراسة أقراص التراكم حول الثقوب السوداء الفائقة.