قدرة الإيقاف

نبدأ بحساب السرعة النسبية β لجسيم ألفا. كتلة جسيم ألفا ≈ 4 u = 3727.3 MeV/c². الطاقة الحركية 5 MeV، والطاقة الكلية = 3727.3+5=3732.3 MeV. نستخدم العلاقة γ = 1 + (KE/mc²) = 1 + 5/3727.3 ≈1.00134، ثم β = √(1 - 1/γ²) ≈ √(1-0.99733) = 0.0516. الآن نحسب العامل اللوغاريتمي: متوسط جهد التأين للهواء (I) ≈ 10*zTarget = 75 eV. ولكن القيمة الأدق للهواء ≈ 85.7 eV. نستعمل I=85.7 eV. نحسب اللوغاريتم: ln(2*m_e*c²*β² / (I*(1-β²))) = ln(2*0.511*0.00266 / (85.7e-3*0.9973)) = ln(0.002718 / 0.0855) = ln(0.03178) = -3.448. ثم نطرح β²: -3.448 - 0.00266 = -3.4507. ثم نضرب في العامل: (4π * e^4 * z² * density) / (m_e c² β²). نعلم أن 4π e^4/(m_e c²) = 0.3071 MeV cm²/g (ثابت). يصبح العامل: 0.3071 * (z²/β²) * density = 0.3071 * (4/0.00266) * 0.001225 = 0.3071 * 1503.8 * 0.001225 = 0.3071 * 1.842 = 0.566. ثم نضرب في القيمة اللوغاريتمية: dE/dx = 0.566 * (-3.4507) = -1.95 MeV/cm. الإشارة السالبة تعني فقدان طاقة. القيمة المطلقة 1.95 MeV/cm. للمقارنة، قدرة الإيقاف في الماء (كثافة 1 g/cm³، zTarget≈7.2، I≈75 eV) نحصل على dE/dx ≈ 200 MeV/cm تقريباً لأن الكثافة أعلى بكثير. هذا مثال يظهر تأثير الكثافة على قدرة الإيقاف.

لبروتون: كتلة البروتون ≈ 938.27 MeV/c². الطاقة الكلية = 938.27+150=1088.27 MeV. γ = 1+150/938.27=1.1599، β = √(1-1/1.1599²)=√(1-0.743)=0.507. β²=0.257. احسب العامل: 0.3071 * (1²/0.257) * 1 = 0.3071 * 3.891 = 1.195. اللوغاريتم: ln(2*0.511*0.257 / (0.075*(1-0.257))) = ln(0.2626 / (0.075*0.743)) = ln(0.2626/0.05573)=ln(4.713)=1.550. ثم نطرح β²: 1.550 - 0.257 = 1.293. dE/dx = 1.195 * 1.293 = 1.545 MeV/cm. لاحظ انخفاض قدرة الإيقاف مقارنة بجسيم ألفا عند 5 MeV لأن الطاقة أعلى بكثير. لجسيم ألفا بنفس الطاقة 150 MeV: z=2, كتلة 3727.3, γ=1+150/3727.3=1.0402, β=√(1-1/1.0402²)=√(1-0.923)=0.277, β²=0.0767. العامل: 0.3071*(4/0.0767)*1=0.3071*52.15=16.01. اللوغاريتم: ln(2*0.511*0.0767/(0.075*(1-0.0767)))=ln(0.0784/(0.075*0.9233))=ln(0.0784/0.06925)=ln(1.132)=0.124. ثم نطرح β²: 0.124-0.0767=0.0473. dE/dx=16.01*0.0473=0.757 MeV/cm. أي أن جسيم ألفا عند 150 MeV له قدرة إيقاف أقل من البروتون! هذا يوضح تأثير السرعة: الجسيمات الأثقل تكون أبطأ عند نفس الطاقة، وبالتالي قدرة إيقافها أعلى عند الطاقات المنخفضة، ولكن عند الطاقات العالية جداً، قد تنعكس العلاقة بسبب العامل اللوغاريتمي.