طول موجة دي برولي

لحساب طول موجة دي برولي، نتبع الخطوات التالية:

أولاً، نحدد المعطيات:

- كتلة الإلكترون m = 9.11 × 10⁻³¹ kg

- سرعة الإلكترون v = 2.0 × 10⁶ m/s

- ثابت بلانك h = 6.626 × 10⁻³⁴ J·s

ثانياً، نحسب كمية الحركة p:

p = m × v = (9.11 × 10⁻³¹)(2.0 × 10⁶) = 1.822 × 10⁻²⁴ kg·m/s

ثالثاً، نطبق معادلة دي برولي:

λ = h / p = (6.626 × 10⁻³⁴) / (1.822 × 10⁻²⁴) = 3.637 × 10⁻¹⁰ m

النتيجة: الطول الموجي للإلكترون يساوي حوالي 3.64 × 10⁻¹⁰ متر (أو 0.364 نانومتر). هذا الطول الموجي مماثل لحجم الذرات، وهو سبب استخدام المجهر الإلكتروني لرؤية التفاصيل الذرية.

هذه العملية توضح العلاقة العكسية بين كمية الحركة والطول الموجي: كلما زادت السرعة، زادت كمية الحركة، وقصر الطول الموجي.

أولاً، نحسب طول موجة البروتون:

m_p = 1.67 × 10⁻²⁷ kg

v = 3.0 × 10⁵ m/s

p = m_p × v = (1.67 × 10⁻²⁷)(3.0 × 10⁵) = 5.01 × 10⁻²² kg·m/s

λ_p = h / p = (6.626 × 10⁻³⁴) / (5.01 × 10⁻²²) = 1.322 × 10⁻¹² m = 1.322 × 10⁻³ nm

ثانياً، نحسب طول موجة الإلكترون بنفس السرعة:

m_e = 9.11 × 10⁻³¹ kg

p = (9.11 × 10⁻³¹)(3.0 × 10⁵) = 2.733 × 10⁻²⁵ kg·m/s

λ_e = 6.626 × 10⁻³⁴ / 2.733 × 10⁻²⁵ = 2.424 × 10⁻⁹ m = 2.424 nm

المقارنة: طول موجة الإلكترون (2.424 nm) أكبر بحوالي 1836 مرة من طول موجة البروتون (1.322 × 10⁻³ nm) لأن كتلة الإلكترون أقل بكثير. هذا يوضح أن الجسيمات الأخف (مثل الإلكترونات) تظهر سلوكاً موجياً أكثر وضوحاً، بينما الجسيمات الثقيلة (مثل البروتونات) لها أطوال موجية صغيرة جداً لا يمكن ملاحظتها في المقياس العياني.

هذه النتائج تدعم فكرة أن الطبيعة الموجية تكون مهمة فقط للجسيمات دون الذرية، بينما الجسيمات الكبيرة لها أطوال موجية ضئيلة لا تؤثر على حركتها.