نظرية هوكل

حساب مفصل: نبدأ بكتابة المعادلة العلمانية لكل ذرة كربون (سيقما). للبيوتادايين، كل ذرة ترتبط بالمجاورة فقط. المصفوفة: [α E; β 0?] لكن نستخدم المصفوفة المجردة ذات العناصر: 0 على القطر، 1 فوق وتحت القطر للجيران. ثم نحصل على المعادلة المميزة x^4 - 3x^2 + 1 = 0، حلها يعطي الجذور المذكورة. الطاقة الكلية: 2 لكل مدار مشغول. تُستخدم هذه القيم لحساب كثافة الإلكترون أو المؤشرات مثل ترتيب الرابطة. في البيوتادايين، طول الرابطة المركزية أقصر من الرابطة المفردة (نتيجة الترابط π).

البنزين: n = 6، مصفوفة هوكل (دورة) تعطي القيم الذاتية: 2, 1, 1, -1, -1, -2. المدارات المشغولة: الثلاثة الأدنى: 2, 1, 1 (كل منها يحمل 2 إلكترون). الطاقة الكلية π = 2*(α+2β) + 2*(α+β) + 2*(α+β) = 6α + 8β. الطاقة المرجعية: 3 روابط π معزولة (رابطة ثنائية واحدة تحتوي على إلكترونين π): كل رابطة ثنائية في إيثيلين تعطي طاقة 2(α+β) لكل رابطتين (لكن يمكن اعتبار 3 إيثيلينات منفصلة): طاقة 3 إيثيلينات = 3 * 2(α+β) = 6α + 6β. الفرق = (6α+8β) - (6α+6β) = 2β. بما أن β سالبة، الطاقة الكلية للبنزين أقل، أي تثبيت بمقدار 2β ≈ 150 kJ/mol (قيمة تقريبية). هذا يفسر استقرار البنزين واستجابته للتفاعلات الاستبدالية بدلاً من الإضافة. الفجوة بين HOMO (α+β) و LUMO (α-β) = 2β، مما يعطي امتصاص في المنطقة فوق البنفسجية البعيدة. ملاحظة: البنزين له انحلال مضاعف (degeneracy) في المستويين 1 و -1، مما يزيد من التناظر.