الأوربيتال الذري للهيدروجين

للحالة n=1, l=0 (أوربيتال 1s)، الدالة الموجية الشعاعية هي R_10(r) = 2 * (1/a_0)^(3/2) * e^(-r/a_0)، حيث a_0 هو نصف قطر بور (0.529 أنغستروم). كثافة الاحتمال الشعاعية هي P(r) = r^2 |R_10|^2 = 4 r^2 / a_0^3 * e^(-2r/a_0). لإيجاد نصف القطر الأكثر احتمالاً، نأخذ المشتقة الأولى لـ P(r) بالنسبة لـ r ونساويها بالصفر. نحصل على r_max = a_0. إذن، أكثر مسافة احتمالية للإلكترون عن النواة في الحالة الأرضية هي نصف قطر بور. وهذا يتوافق مع توقع نموذج بور البسيط. الرسم البياني يظهر ذروة واحدة عند r=a_0، ولا توجد عقد شعاعية (n-l-1=0).

للحالة n=2, l=1 (أوربيتال 2p)، الدالة الموجية الشعاعية هي R_21(r) = (1/(2√6)) * (1/a_0)^(3/2) * (r/a_0) * e^(-r/(2a_0)). كثافة الاحتمال الشعاعية P(r) = r^2 |R_21|^2 = (1/(24 a_0^3)) * (r^4 / a_0^2) * e^(-r/a_0). عدد العقد الشعاعية = n-l-1 = 2-1-1=0، لذا لا توجد عقد شعاعية. لكن عند r=0 تكون كثافة الاحتمال صفرًا لأن الدالة تساوي صفرًا عند النواة (عقدة زاويّة). الرسم البياني يظهر ذروة واحدة على مسافة معينة. لحساب نصف القطر الأكثر احتمالاً، نأخذ مشتقة P(r) ونحل المعادلة: dP/dr=0 → r_max = 4a_0. إذن، أكثر مسافة احتمالية للإلكترون في 2p هي 4a_0 ≈ 2.12 أنغستروم. هذا أكبر من الحالة 1s لأن طاقة الإلكترون أعلى.