خطوات الاستخدام
الخطوة الأولى: إدخال عدد السكان الأولي (n0) – هذا هو حجم السكان في بداية الدراسة (الوقت t=0). على سبيل المثال، إذا كان عدد البكتيريا في البداية 10 خلايا، فإن n0=10. هذه القيمة أساسية لأنها تحدد نقطة الانطلاق للنمو.
الخطوة الثانية: إدخال معدل النمو (r) – معدل النمو اللحظي للسكان (عادةً ما يكون بين 0 و1). هذا المعدل يمثل سرعة التكاثر في بيئة غير محدودة. على سبيل المثال، إذا كان معدل التكاثر 0.5 في الساعة، فهذا يعني أن كل فرد ينتج 0.5 فرد جديد في الساعة. القيمة الأكبر تعني نموًا أسرع.
الخطوة الثالثة: إدخال السعة الاستيعابية (k) – الحد الأقصى لعدد الأفراد الذي يمكن أن تدعمه البيئة (بسبب الموارد المحدودة). مثلاً، إذا كان المزرعة تستطيع دعم 1000 بكتيريا، فإن k=1000. السعة الاستيعابية تحدد الحد الأعلى لمنحنى النمو اللوجستي.
الخطوة الرابعة: إدخال الزمن (t) – الوقت الذي نريد حساب عدد السكان عنده. يمكن أن يكون بالساعات أو الأيام أو السنوات حسب الوحدة المستخدمة. مثلاً t=10 ساعات.
الخطوة الخامسة: الضغط على زر الحساب – نستخدم معادلة النمو اللوجستي: N(t) = K / (1 + ((K - N0)/N0) * e^(-r*t)). يتم إدخال القيم تلقائياً وحساب عدد السكان بعد الزمن المحدد. النتيجة تعطينا حجم السكان تحت تأثير الموارد المحدودة.
أمثلة محلولة
تطبيقات عملية على النمو اللوجستي بخطوات الحل كاملة.
الحل
لحل هذا المثال، نستخدم معادلة النمو اللوجستي: N(t) = K / (1 + ((K - N0)/N0) * e^(-r*t)). ندخل القيم: N0=10, r=0.5, K=1000, t=10. أولاً، نحسب (K - N0)/N0 = (1000-10)/10 = 990/10 = 99. ثم نحسب الأس: e^(-r*t) = e^(-0.5*10) = e^(-5) ≈ 0.0067379. ثم نضرب: 99 * 0.0067379 ≈ 0.66705. الآن المقام: 1 + 0.66705 = 1.66705. إذن N(10) = 1000 / 1.66705 ≈ 599.9 أي حوالي 600 بكتيريا. نلاحظ أن عدد البكتيريا أقل بكثير من السعة الاستيعابية (1000) بسبب وجود الموارد المحدودة، لكن النمو بدأ يتسارع قبل أن يتباطأ قرب السعة. هذا مثال واقعي عن نمو مستعمرة في مختبر حيث تكون الموارد مثل الغذاء محدودة.
الحل
نطبق نفس المعادلة: N0=50, r=0.2, K=500, t=5. نحسب (K - N0)/N0 = (500-50)/50 = 450/50 = 9. ثم e^(-r*t) = e^(-0.2*5) = e^(-1) ≈ 0.367879. نضرب: 9 * 0.367879 ≈ 3.3109. المقام: 1 + 3.3109 = 4.3109. N(5) = 500 / 4.3109 ≈ 116.0 أيل. هذا يبين أن النمو اللوجستي يبدأ سريعاً ثم يتباطأ مع الاقتراب من السعة. بعد 5 سنوات، وصل عدد الأيل إلى حوالي 116، وهو أقل بكثير من السعة 500، مما يعكس بيئة ذات موارد وفيرة نسبياً. هذا النموذج يستخدم في علم البيئة لتقدير أعداد الحيوانات.
أمثلة محسوبة
قيم مُدخَلة ونتيجة محسوبة فعليًا بواسطة النمو اللوجستي.
قيم مُدخَلة قياسية
- N0
- 100
- r
- 0.5
- K
- 1,000
- t
- 10
قيم مُدخَلة مرتفعة
- N0
- 170
- r
- 0.85
- K
- 1,700
- t
- 17
قيم مُدخَلة منخفضة
- N0
- 20
- r
- 0.1
- K
- 200
- t
- 2