خطوات الاستخدام
الخطوة 1: فهم نموذج الجسيم في صندوق أحادي البعد. في ميكانيكا الكم، يُفترض أن الجسيم (مثل الإلكترون) محصور داخل صندوق ذي جدران لا نهائية. لا يمكن للجسيم الهروب، وموجته تختفي عند الجدران. هذا يؤدي إلى تكميم الطاقة. معادلة شرودنغر المستقلة عن الزمن لهذا النظام هي: - (h²/(8π²m)) d²ψ/dx² = Eψ، حيث h ثابت بلانك، m كتلة الجسيم. حل هذه المعادلة يعطي دالة موجية جيبية: ψ(x) = √(2/L) sin(nπx/L)، حيث L طول الصندوق و n عدد كمي صحيح موجب (n=1,2,3,...). الطاقة المرتبطة: E = n²h²/(8mL²). لاحظ أن الطاقة تعتمد على مربع n، وتتناسب عكسياً مع الكتلة ومربع طول الصندوق. هذه الصيغة أساسية لحساب مستويات الطاقة في العديد من الأنظمة الكمومية البسيطة.
الخطوة 2: إدخال قيم n وكتلة الجسيم. يقوم المستخدم بإدخال عدد الكم n (عادةً 1، 2، 3، ...) وكتلة الجسيم بالكيلوغرام (kg). لتطبيق عملي، نحتاج أيضاً إلى طول الصندوق L، ولكن العرض الأصلي للآلة الحاسبة لا يتضمن إدخال L. لذلك، نفترض أن المستخدم يريد حساب الطاقة لكل وحدة طول (أي قيمة طاقة لكل L²) أو أن L معرف مسبقاً (مثلاً L=1 متر أو L=1 أنجستروم). في أمثلةنا، سنفترض طول صندوق قدره 1×10⁻¹⁰ متر (1 أنجستروم) وهو نموذجي للإلكترونات في الذرات. إذا لم يتم تحديد L، يمكن للآلة حساب عامل الطاقة: E/n² = h²/(8mL²). ينبغي على المستخدم ضرب الناتج في (1/L²) للحصول على الطاقة الفعلية إذا كان L مختلفاً.
الخطوة 3: حساب طاقة المستوى الكمومي. باستخدام الصيغة E = n²h²/(8mL²)، نقوم بحساب الطاقة. نستخدم ثابت بلانك h = 6.626×10⁻³⁴ جول·ثانية. نوجد أولاً h² = (6.626×10⁻³⁴)² = 4.39×10⁻⁶⁷. ثم نقسم على 8m: h²/(8m). الناتج يُضرب في n² و (1/L²). بما أن L ليس مدخلاً، نعرض النتيجة على أنها طاقة مضروبة في L² (أي E × L²). يمكن تحويل الطاقة من جول إلى إلكترون فولت (eV) بقسمة الناتج على 1.602×10⁻¹⁹. الطاقة تكون موجبة لأن n² موجب. كلما زاد n، زادت الطاقة بمربع n، مما ينتج عنه تباعد متزايد بين المستويات العليا.
الخطوة 4: تفسير النتائج ودلالاتها. الطاقة المحسوبة تمثل طاقة وضع الجسيم في ذلك المستوى. لا يمكن للجسيم أن يأخذ طاقة بين هذه المستويات. هذه الكمومية تظهر فقط في الأنظمة الصغيرة جداً (نانومترية). الفرق بين مستوى وآخر (ΔE) يمكن استخدامه لحساب تردد الفوتون المنبعث أو الممتص في الانتقال بين المستويات: ΔE = hν. كذلك، يمكن حساب طول موجة دي برولي للجسيم: λ = h/√(2mE). في الأمثلة أدناه، سنحسب الطاقة لمستويين مختلفين ونحول إلى إلكترون فولت لفهم أفضل.
الخطوة 5: التحقق من صحة الافتراضات. نموذج الجسيم في صندوق هو تبسيط قوي. في الواقع، الجدران ليست لا نهائية، وهناك نفق كمي. لكنه ممتاز لشرح التكميم. لتطبيقات عملية مثل النقاط الكمومية، نحتاج لنماذج ثلاثية الأبعاد. تأكد من استخدام وحدات متناسقة (متر، كجم، ثانية). طول الصندوق يجب أن يكون واقعياً: للإلكترون في بلورة نانوية حوالي 1-10 نانومتر. إذا كان L كبيراً جداً، تصبح مستويات الطاقة متقاربة جداً وتتلاشى الكمومية.
أمثلة محلولة
تطبيقات عملية على جسيم في صندوق بخطوات الحل كاملة.
الحل
لحل هذا المثال، نطبق خطوات الحساب التفصيلية:
أولاً: نكتب البيانات:
n = 1 (عدد كم رئيسي)
m = 9.109×10⁻³¹ كجم
L = 1×10⁻¹⁰ م
h = 6.626×10⁻³⁴ جول·ثانية
1 eV = 1.602×10⁻¹⁹ جول
ثانياً: حساب الطاقة بالجول باستخدام الصيغة:
E = n² h² / (8 m L²)
= (1² × (6.626×10⁻³⁴)²) / (8 × 9.109×10⁻³¹ × (1×10⁻¹⁰)²)
= (4.390×10⁻⁶⁷) / (8 × 9.109×10⁻³¹ × 1×10⁻²⁰)
= (4.390×10⁻⁶⁷) / (7.287×10⁻⁵⁰)
≈ 6.024×10⁻¹⁸ جول
ثالثاً: التحويل إلى إلكترون فولت:
E (eV) = 6.024×10⁻¹⁸ / 1.602×10⁻¹⁹ = 37.62 eV ≈ 37.6 eV
رابعاً: حساب طول موجة دي برولي:
طول الموجة λ = h / √(2mE)
= 6.626×10⁻³⁴ / √(2 × 9.109×10⁻³¹ × 6.024×10⁻¹⁸)
= 6.626×10⁻³⁴ / √(1.097×10⁻⁴⁸)
= 6.626×10⁻³⁴ / 3.313×10⁻²⁵
≈ 2.00×10⁻⁹ م = 2 نانومتر
تفسير: الطاقة العالية (37.6 eV) تعني أن الإلكترون مقيد بقوة في صندوق صغير جداً. طول موجة دي برولي (2 نانومتر) أكبر من طول الصندوق (0.1 نانومتر) وهذا مستحيل فيزيائياً؟ في الواقع، هذا مثال توضيحي؛ في الذرات الحقيقية، الإلكترونات لا تكون محصورة بهذا الشكل. لكنه يوضح أن طاقة الصفر (نقطة الصفر) غير صفرية بسبب مبدأ هايزنبرغ.
الحل
الحل التفصيلي:
البيانات:
م = 1.675×10⁻²⁷ كجم
L = 5×10⁻¹⁰ م
n₁ = 2, n₂ = 3
h = 6.626×10⁻³⁴ جول·ثانية
(أ) طاقة المستوى n=2:
E₂ = (2² × h²) / (8 m L²)
= (4 × (6.626×10⁻³⁴)²) / (8 × 1.675×10⁻²⁷ × (5×10⁻¹⁰)²)
= (4 × 4.390×10⁻⁶⁷) / (8 × 1.675×10⁻²⁷ × 2.5×10⁻¹⁹)
= (1.756×10⁻⁶⁶) / (8 × 4.1875×10⁻⁴⁶) → المقام = 3.35×10⁻⁴⁵
= 1.756×10⁻⁶⁶ / 3.35×10⁻⁴⁵ = 5.24×10⁻²² جول
(ب) طاقة المستوى n=3:
E₃ = (9 × 4.390×10⁻⁶⁷) / (8 × 1.675×10⁻²⁷ × 2.5×10⁻¹⁹)
= (3.951×10⁻⁶⁶) / (3.35×10⁻⁴⁵) = 1.179×10⁻²¹ جول
ملاحظة: الطاقة تزيد بـ 9/4 = 2.25 مرة.
(ج) فرق الطاقة:
ΔE = E₃ - E₂ = 1.179×10⁻²¹ - 5.24×10⁻²² = 6.55×10⁻²² جول
أو بالتحويل إلى eV: ΔE = 6.55×10⁻²² / 1.602×10⁻¹⁹ ≈ 0.00409 eV = 4.09 meV.
(د) تردد الفوتون المنبعث:
ν = ΔE / h = 6.55×10⁻²² / 6.626×10⁻³⁴ = 9.88×10¹¹ هرتز ≈ 0.988 تيراهرتز (في نطاق الأشعة تحت الحمراء البعيدة).
(هـ) طول موجة الفوتون:
λ = c / ν = 3×10⁸ / 9.88×10¹¹ = 3.04×10⁻⁴ م = 304 ميكرومتر.
تفسير: طاقة النيوترون أقل بكثير من طاقة الإلكترون (للكتلة الأكبر). الفرق صغير جداً (ملي إلكترون فولت) ويتوافق مع فوتون تحت الأحمر البعيد. هذا يبين كيف تؤثر الكتلة على مستويات الطاقة: الجسيمات الأثقل تحتاج صناديق أصغر أو أعداد كم أعلى للوصول إلى طاقات ملحوظة.