سلسلة الاضمحلال الإشعاعي

أولاً، نحتاج لتحويل العمر النصفي للثوريوم إلى نفس وحدة الزمن لليورانيوم. 24.1 يوم ≈ 0.066 سنة تقريبًا. ثابت الاضمحلال لليورانيوم: λ₁ = ln(2)/4.468e9 = 1.55e-10 /سنة. لـ 100 سنة، t=100 سنة. كمية اليورانيوم المتبقية: N₁(t) = 100 * e^{-1.55e-10 * 100} ≈ 100 * e^{-1.55e-8} ≈ 100 * (1 - 1.55e-8) ≈ 99.99999845 جرام (تغير طفيف جدًا). كمية الثوريوم المنتجة: بما أن N₂₀ = 0، N₂(t) = (N₁₀ λ₁ / (λ₂ - λ₁)) (e^{-λ₁ t} - e^{-λ₂ t}). λ₂ = ln(2)/0.066 ≈ 10.5 /سنة. λ₂ >> λ₁، لذا يمكن تقريب: N₂(t) ≈ (N₁₀ λ₁ / λ₂) (1 - e^{-λ₂ t}) = (100 * 1.55e-10 / 10.5) * (1 - e^{-10.5*100}) ≈ (1.476e-9) * (1 - e^{-1050}) ≈ 1.476e-9 جرام، وهو مقدار ضئيل جدًا. هذا يوضح أن سلسلة اليورانيوم طويلة جدًا وأن كمية الثوريوم المنتجة خلال 100 سنة لا تذكر لأن عمر نصف الأم طويل جدًا.

نحول الوحدات: عمر نصف الباريوم = 2.55 دقيقة = 2.55/(365.25*24*60) ≈ 4.85e-6 سنة. λ₁ = ln(2)/30.17 = 0.02298 /سنة، λ₂ = ln(2)/4.85e-6 = 143000 /سنة. λ₂ >> λ₁، لذا التوازن العلماني يحدث بسرعة. نستخدم المعادلة الكاملة: N₁(t)=50 e^{-0.02298 t}. N₂(t)= (N₁₀ λ₁/(λ₂-λ₁))(e^{-λ₁ t} - e^{-λ₂ t}) + N₂₀ e^{-λ₂ t}. N₂₀=0. عند t=60 سنة: N₁(60)=50 e^{-0.02298*60}=50 e^{-1.3788}=50*0.252=12.6 جرام. N₂(60)≈ (50*0.02298/143000)(e^{-1.3788} - e^{-143000*60}) ≈ (1.149/143000)*0.252 ≈ 2.02e-6 جرام (لأن e^{-λ₂ t}≈0). عند t=100 سنة: N₁(100)=50 e^{-2.298}=50*0.1005=5.025 جرام. N₂(100)≈ (1.149/143000)*0.1005 ≈ 8.07e-7 جرام. نلاحظ أن كمية الابن صغيرة جدًا لأن الفرق بين λ₁ وλ₂ كبير جدًا، لكن الابن يصل سريعًا إلى توازن مع الأم (نسبة ثابتة). في التوازن، N₂/N₁ ≈ λ₁/λ₂ = 0.02298/143000 = 1.607e-7.