توزيع بيتا

خطوات الاستخدام

1. أدخل قيمة x (المتغير العشوائي) بين 0 و1. توزيع بيتا يُعرّف فقط لـ x في [0,1]، ويمثل احتمالاً أو نسبة تريد حساب كثافة الاحتمال لها.

2. أدخل معلمات الشكل α (ألفا) و β (بيتا)، وكلاهما أعداد حقيقية موجبة. تمثل ألفا عدد النجاحات زائد 1، وبيتا عدد الإخفاقات زائد 1 في التفسير البايزي. تتحكم هذه المعلمات في الشكل: α>1, β>1 يعطي منحنى أحادي القمة؛ α=1, β=1 يعطي توزيعاً منتظماً؛ α<1, β<1 يعطي شكل حرف U.

3. تقوم الحاسبة بحساب دالة كثافة الاحتمال (PDF) باستخدام الصيغة: f(x;α,β) = [x^(α-1) * (1-x)^(β-1)] / B(α,β)، حيث B(α,β) هي دالة بيتا (Γ(α)Γ(β)/Γ(α+β)). تعطي PDF الاحتمال النسبي لملاحظة x.

4. يتم حساب المتوسط (القيمة المتوقعة) كـ μ = α / (α+β). التباين هو σ² = αβ / [(α+β)²(α+β+1)]. هذه مشتقة من عزم التوزيع وتخبرك بالمركز والانتشار.

الأسئلة الشائعة

توزيع بيتا هو التوزيع السابق المرافق للتوزيع ذي الحدين. هذا يعني أنه إذا كان لديك احتمال حدوث (عدد النجاحات في n تجربة مع احتمال غير معروف p)، ووضعت توزيعاً سابقاً Beta(α,β) على p، فإن التوزيع اللاحق لـ p هو أيضاً بيتا، وتحديداً Beta(α+عدد النجاحات, β+عدد الإخفاقات). هذه الخاصية تجعل التحديث البايزي ممكناً تحليلياً. يمكن للتوزيع السابق بيتا ترميز المعتقدات السابقة: على سبيل المثال، توزيع منتظم (α=β=1) يمثل الجهل، بينما Beta(5,5) يمثل اعتقاداً بأن p قريب من 0.5 بثقة معتدلة. ثم التوزيع اللاحق بيتا يجمع السابق والبيانات، ويوفر تمثيلاً احتماليًا كاملاً لعدم اليقين. يُستخدم هذا على نطاق واسع في اختبار أ/ب، حيث نقوم بتحديث توزيع معدلات التحويل بعد ملاحظة البيانات، ثم نحسب احتمالات مثل P(p_A > p_B) عن طريق التكامل على توزيعات بيتا.

توزيع بيتا معرف على [0,1] ويتحكمα وβ في شكله بالكامل. عندما α = β، يكون التوزيع متماثلاً حول 0.5. عندما α=β=1، يكون منتظماً. عندما α=β>1 (مثل α=β=5)، يصبح على شكل جرس ومركزاً حول 0.5. عندما α > β، يكون التوزيع منحرفاً لليمين (القمة > 0.5)، مثلاً α=5,β=2 يعطي شكلاً منحرفاً لليمين بمتوسط 5/7≈0.714. عندما α < β، يكون منحرفاً لليسار. عندما α<1 و β<1، يكون التوزيع على شكل حرف U، بكثافة عالية قرب 0 و1، مثلاً α=0.5,β=0.5 يعطي شكل حرف U متماثل. عندما α<1,β>1، يكون على شكل حرف J (كثافة عالية قرب 0)، وعندما α>1,β<1، يكون على شكل حرف J معكوس. هذه المرونة تجعل توزيع بيتا مناسباً لنمذجة الاحتمالات والنسب وأي متغير عشوائي محصور بين 0 و1.

المتوسط E[X] = α/(α+β) بديهي: إنها نسبة معلمة النجاح إلى المجموع. بايزياً، يمكن اعتبار α وβ كعدادات سابقة للنجاحات والإخفاقات، لذا المتوسط هو معدل النجاح اللاحق. التباين Var[X] = αβ/[(α+β)²(α+β+1)]. يحتوي المقام على (α+β+1) الذي يعكس حجم العينة الإجمالي زائد 1، مما يظهر أن التباين يتناقص مع زيادة العدد الزائف الإجمالي. الاشتقاق يستخدم دوال توليد العزوم أو التكامل: E[X^k] = B(α+k,β)/B(α,β) لـ k=1,2. ثم Var = E[X²] - (E[X])². تظهر الصيغة أنه مع زيادة α+β، يقترب التباين من الصفر، مما يعني أن التوزيع يتركز حول المتوسط. أيضاً، لمجموع ثابت α+β، يكون التباين أقصى عندما α=β (متماثل) وأدنى عندما تهيمن إحدى المعلمتين.

بالتأكيد. بعيداً عن الاستدلال البايزي، توزيع بيتا هو نموذج متعدد الاستخدامات لأي نسبة مستمرة أو احتمال. في إدارة المشاريع، تستخدم طريقة PERT نسخة من توزيع بيتا لنمذجة مدة المهام، بتقدير الأوقات المتفائلة والأكثر احتمالاً والمتشائمة. في مراقبة الجودة، يُستخدم لنمذجة معدلات العيوب. في المالية، يمكن أن يمثل توزيع احتمالات التخلف عن السداد أو معدلات الاسترداد. في علم الوراثة، يمثل ترددات الأليلات. في علم البيئة، يمثل احتلال الأنواع. في التسويق، يمثل معدلات تحويل العملاء. يُستخدم توزيع بيتا أيضاً في الأساليب البايزية غير المعلمية (أوليات عملية ديريشليت) وفي نمذجة التأثيرات العشوائية في النماذج الهرمية. تسمح معلمتاه بمرونة كبيرة في ملاءمة البيانات المحصورة بين 0 و1.

توزيع بيتا

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

أمثلة محلولة

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة