توزيع جاما

خطوات الاستخدام

تحديد المعاملات: معامل الشكل α (ألفا) ومعامل المعدل β (بيتا). يجب أن يكون كلاهما موجباً. يمثل توزيع جاما زمن الانتظار لـ α حدث في عملية بواسون بمعدل β.

إدخال القيمة x التي سيتم تقييم دالة كثافة الاحتمال (PDF) عندها. يجب أن تكون x أكبر من 0. قانون دالة كثافة الاحتمال هو (β^α * x^(α-1) * e^(-βx)) / Γ(α)، حيث Γ(α) هي دالة جاما (Γ(α) = (α-1)! للأعداد الصحيحة).

حساب دالة جاما Γ(α). للأعداد الصحيحة تساوي (α-1)!، وللأعداد غير الصحيحة نستخدم تقريب لانكوس أو دوال جاهزة. هذا يطبيع التوزيع.

حساب المتوسط والتباين مباشرة من المعاملات: المتوسط = α/β، التباين = α/β^2. تصف هذه مركز وانتشار التوزيع.

الأسئلة الشائعة

توزيع جاما هو تعميم للتوزيع الأسي. على وجه التحديد، عندما تكون معامل الشكل α = 1، يصبح توزيع جاما هو التوزيع الأسي بمعدل β. في هذه الحالة، تصبح دالة الكثافة f(x) = β e^{-βx}، وهي بالضبط دالة الكثافة الأسية. التوزيع الأسي يمثل الزمن حتى وقوع حدث واحد في عملية بواسون. توزيع جاما يمثل الزمن حتى وقوع α حدث. علاوة على ذلك، فإن مجموع α من المتغيرات العشوائية الأسية المستقلة، كل منها بمعدل β، يتبع توزيع جاما بمعامل شكل α ومعدل β. هذه الخاصية الجمعية تجعل توزيع جاما أساسياً في نظرية الطوابير وهندسة الموثوقية. على سبيل المثال، إذا كان لديك نظام تفشل فيه كل مكونات بعد عمر إكسبوننسي، فإن الزمن الكلي حتى α فشل يكون موزعاً بتوزيع جاما.

معامل الشكل α يتحكم في شكل التوزيع. بالنسبة لـ α ≤ 1، يكون التوزيع متناقصاً بشكل صارم (أعلى قيمة عند x=0). مع زيادة α فوق 1، يصبح التوزيع أحادي النمط وأكثر تماثلاً، مع انتقال الذروة إلى اليمين. معامل المعدل β (أو المعامل العكسي θ = 1/β) يتحكم في الانتشار. زيادة β (تقليل المقياس) تجعل التوزيع أكثر تركيزاً بالقرب من الصفر، مما يقلل كل من المتوسط والتباين. على وجه التحديد، المتوسط هو α/β والتباين هو α/β^2. بالنسبة لـ α ثابت، زيادة β تقلل المتوسط والتباين. بالنسبة لـ β ثابت، زيادة α تزيد المتوسط والتباين. معامل الاختلاف هو 1/√α، لذا α الأعلى يعني تبايناً نسبياً أقل. عملياً، توزيع جاما مع α الكبير يقترب من التوزيع الطبيعي بسبب نظرية الحد المركزية.

يستخدم توزيع جاما على نطاق واسع في مجالات مختلفة. في التأمين والتمويل، يقوم بنمذجة أحجام المطالبات ومخاطر التجميع. في الأرصاد الجوية، يمثل كميات هطول الأمطار وسرعة الرياح. في تحليل البقاء على قيد الحياة، يستخدم توزيع جاما لنمذجة الأعمار وأوقات الانتظار، خاصة عندما لا يكون معدل الخطر ثابتاً. في الإحصاء البايزي، توزيع جاما هو توزيع سابق مرافق شائع لدقة (التباين العكسي) للتوزيع الطبيعي. يظهر أيضاً في نظرية الطوابير لأوقات الخدمة وفي الهندسة لأوقات الموثوقية والفشل. على سبيل المثال، يمكن نمذجة الوقت اللازم لإكمال سلسلة من المهام بتوزيع جاما. بالإضافة إلى ذلك، توزيع كاي تربيع هو حالة خاصة من توزيع جاما مع α = ν/2 و β = 1/2، حيث ν هي درجات الحرية.

نعم، يمكن أن يكون معامل الشكل α أي عدد حقيقي موجب، وليس فقط الأعداد الصحيحة. دالة جاما Γ(α) معرفة لجميع الأعداد الحقيقية الموجبة (وتمتد للأعداد المركبة). بالنسبة لـ α غير الصحيح، يتم حساب دالة جاما باستخدام تقريبات مثل خوارزمية لانكوس أو صيغة ستيرلينغ. توزيع جاما مع α غير الصحيح لا يزال له نفس قانون دالة الكثافة ونفس الخصائص. هذه المرونة تسمح بنمذجة أوقات الانتظار المستمرة التي ليست بالضرورة مجموع عدد ثابت من الأحداث الأسية. على سبيل المثال، α=2.5 يمثل توزيعاً أقل حدة من α=2 ولكن أكثر من α=3. قوانين المتوسط والتباين لا تزال صحيحة: المتوسط=α/β، التباين=α/β^2. معظم البرامج الإحصائية والآلات الحاسبة يمكنها التعامل مع α غير الصحيح.

توزيع جاما

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

أمثلة محلولة

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

1توزيع جاما بمعامل شكل α=2 ومعدل β=1. احسب دالة الكثافة عند x=3، المتوسط، والتباين.

2لنفترض أن زمن الانتظار يتبع توزيع جاما بمعامل شكل α=5 ومعدل β=0.5. أوجد الكثافة عند x=10، المتوسط، والتباين.

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة