التوزيع الهندسي

خطوات الاستخدام

الخطوة 1: فهم التوزيع الهندسي. التوزيع الهندسي يمثل عدد المحاولات اللازمة لتحقيق أول نجاح في سلسلة من محاولات برنولي المستقلة، كل منها له نفس احتمال النجاح p. هذا التوزيع لا ذاكرة له، مما يعني أن احتمال النجاح في المحاولة التالية يظل p بغض النظر عن الإخفاقات السابقة.

الخطوة 2: أدخل احتمال النجاح (p). يجب أن يكون هذا الرقم بين 0 و1 (غير شامل الصفر، وشامل الواحد للتوزيع التافه). مثلاً، إذا كانت فرصة النجاح في كل محاولة 0.2، أدخل 0.2. تحدد هذه المعلمة شكل التوزيع: كلما صغر p زاد طول الذيل لانتظار النجاح.

الخطوة 3: أدخل عدد المحاولات (k). هذا هو رقم المحاولة التي تريد أن يحدث فيها أول نجاح. يجب أن يكون k عدداً صحيحاً موجباً (k ≥ 1). مثلاً، إذا كنت تريد احتمال أن يحدث أول نجاح في المحاولة الخامسة، أدخل 5.

الأسئلة الشائعة

يعتمد التوزيع الهندسي على عدة افتراضات حاسمة. أولاً، يجب أن تكون المحاولات مستقلة؛ نتيجة محاولة لا تؤثر على نتيجة أي محاولة أخرى. في التطبيقات الواقعية، يمكن انتهاك هذا الافتراض إذا كان اختبار المنتج يغير عملية الإنتاج بشكل مدمر (على الرغم من أن المنتج المادي قد اختفي، فإن الاستقلالية تظل قائمة إذا كانت العيوب عشوائية). ثانياً، يجب أن يكون احتمال النجاح p ثابتاً عبر جميع المحاولات. غالباً ما يكون هذا موضع شك عملياً: تآكل الآلة أو تأثيرات التعلم يمكن أن تغير p بمرور الوقت. ثالثاً، هناك نتيجتان محتملتان بالضبط لكل محاولة: نجاح أو فشل. في العديد من السيناريوهات، قد تكون النتائج أكثر من ثنائية؛ عندها قد نحتاج إلى تعميم (مثل التوزيع ذي الحدين السالب). رابعاً، تستمر المحاولات حتى أول نجاح؛ التوزيع الهندسي لا يمثل عدداً ثابتاً من المحاولات. انتهاكات هذه الافتراضات يمكن أن تؤدي إلى احتمالات غير دقيقة. على سبيل المثال، إذا تغيرت p، فإن التوزيع لم يعد هندسياً. بالإضافة إلى ذلك، التوزيع الهندسي لا ذاكرة له: P(X > n + m | X > m) = P(X > n). هذه الخاصية فريدة للتوزيع الهندسي (والأسي). هذا يعني أنه إذا لاحظت بالفعل k من الإخفاقات، فإن احتمال انتظار محاولات إضافية هو نفسه البدء من جديد. عملياً، قد يكون هذا الافتراض غير واقعي: إذا اختبرت 100 لمبة ضوئية دون فشل، فقد يكون للمبة التالية فرصة أكبر للفشل بسبب التقادم. لذا يجب توخي الحذر عند تطبيق التوزيع الهندسي على بيانات حقيقية.

التوزيع الهندسي هو حالة خاصة من التوزيع ذي الحدين السالب. التوزيع ذو الحدين السالب يمثل عدد المحاولات اللازمة لتحقيق عدد محدد من النجاحات r، وليس فقط النجاح الأول. عندما r = 1، يبسط التوزيع ذو الحدين السالب تماماً إلى التوزيع الهندسي. بعبارة أخرى، التوزيع الهندسي هو وقت الانتظار لأول نجاح، بينما يمتد ذو الحدين السالب إلى النجاح رقم r. كلاهما يعتمدان على محاولات برنولي مستقلة مع احتمال نجاح ثابت p. دالة الكتلة الاحتمالية لذي الحدين السالب لـ r نجاح هي: P(X = k) = C(k-1, r-1) * (1-p)^(k-r) * p^r، حيث k >= r. بالنسبة لـ r=1، المعامل ذو الحدين C(k-1, 0) = 1، مما يعطي صيغة التوزيع الهندسي. يرتبط التوزيع الهندسي أيضاً بالتوزيع الأسي في الزمن المستمر: التوزيع الهندسي هو النظير المتقطع للأسي. كلاهما لا ذاكرة له. من حيث التطبيقات، يُستخدم التوزيع الهندسي لنمذجة عدد المحاولات حتى حدث واحد (مثل أول عملية بيع، أول عيب)، بينما يُستخدم ذو الحدين السالب لأحداث مثل عدد المحاولات حتى البيع الثالث، أو عدد الإخفاقات قبل النجاح الأول (وهي معلمة أخرى). فهم هذه العلاقة يساعد في اختيار التوزيع المناسب: إذا كنت تهتم بنجاحات متعددة، استخدم ذا الحدين السالب؛ إذا فقط الأول، فاستخدم التوزيع الهندسي.

المتوسط (القيمة المتوقعة) للتوزيع الهندسي (مع دعم على k = 1, 2, ...) هو E[X] = 1/p. هذا بديهي: إذا كان احتمال النجاح في كل محاولة هو p، فإننا نتوقع أن نحتاج إلى 1/p محاولة للحصول على أول نجاح. على سبيل المثال، إذا كان p = 0.1، في المتوسط تحتاج 10 محاولات. التباين هو Var(X) = (1-p) / p^2. هذا يقيس انتشار التوزيع. بالنسبة لـ p الصغيرة، يكون التباين كبيراً، مما يشير إلى عدم يقين كبير في وقت الانتظار. على سبيل المثال، مع p = 0.1، التباين = (0.9)/(0.01) = 90، لذا الانحراف المعياري ≈ 9.49. هذا يعني أن عدد المحاولات يمكن أن يختلف بشكل كبير. بالنسبة لـ p = 0.5، المتوسط = 2، التباين = (0.5)/(0.25) = 2، الانحراف المعياري ≈ 1.41. هناك أيضاً معلمات بديلة حيث يحسب التوزيع الهندسي عدد الإخفاقات قبل النجاح الأول (k' = 0,1,2,...). في هذه الحالة، المتوسط هو (1-p)/p والتباين هو (1-p)/p^2. تستخدم آلتنا الحاسبة عدد المحاولات (بما في ذلك محاولة النجاح)، لذا المتوسط = 1/p. الوسيط هو تقريباً ceil(-ln(2)/ln(1-p))، وهو أصغر عدد صحيح بحيث يكون الاحتمال التراكمي على الأقل 0.5. المنوال هو دائماً 1 (النتيجة الأكثر احتمالاً هي النجاح في المحاولة الأولى) بغض النظر عن p، طالما p > 0، لأن P(X=1) = p هو أعلى احتمال لأي k منفرد. ومع ذلك، بالنسبة لـ p الصغيرة، تنخفض الاحتمالات ببطء فقط، لذا فإن العديد من القيم متساوية الاحتمال تقريباً.

يمكن حساب الاحتمالات التراكمية للتوزيع الهندسي باستخدام الصيغة P(X ≤ k) = 1 - (1 - p)^k. يعطي هذا احتمال أن يحدث النجاح الأول في المحاولة k أو قبل ذلك. يتم اشتقاقها من ملاحظة أن الحدث X > k يعني أن أول k محاولات كلها إخفاقات، واحتمال ذلك هو (1-p)^k. لذلك، P(X ≤ k) = 1 - (1-p)^k. على سبيل المثال، إذا كان p = 0.2 و k = 3، فإن P(X ≤ 3) = 1 - (0.8)^3 = 1 - 0.512 = 0.488. وبالمثل، احتمال الانتظار لأكثر من k محاولة هو (1-p)^k. يمكنك أيضاً حساب احتمال أن يحدث النجاح الأول بعد عدد معين من المحاولات باستخدام هذه الصيغ. بالنسبة لاحتمال معين q، يمكنك إيجاد k بحيث P(X ≤ k) = q عن طريق حل 1 - (1-p)^k = q، مما يعطي k = log(1-q) / log(1-p) (مقرباً لأعلى). يُستخدم هذا غالباً في تصميم التجارب أو إدارة المخزون حيث تريد التأكد من ملاحظة نجاح. لاحظ أن آلتنا الحاسبة تعطي فقط الاحتمال النقطي P(X = k) لـ k محدد. بالنسبة للاحتمالات التراكمية، ستحتاج إلى حسابات إضافية. ومع ذلك، فإن التوزيع الهندسي لا ذاكرة له، لذا فإن احتمال النجاح في المحاولة التالية بشرط عدم وجود نجاح حتى الآن هو دائماً p، بغض النظر عن عدد المحاولات التي مرت.

التوزيع الهندسي

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

أمثلة محلولة

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

1مفتش مراقبة الجودة يختبر منتجات من خط إنتاج حيث 5% من العناصر معيبة. ما احتمال أن يتم العثور على أول عنصر معيب في الاختبار العاشر؟

2في لعبة، يرمي لاعب نرداً عادلاً حتى يحصل على 6. ما احتمال أن يحدث أول 6 في الرمية الرابعة؟

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة