اختبار كولموجوروف-سميرنوف

خطوات الاستخدام

الخطوة 1: أدخل بيانات عينتك كقائمة مفصولة بفواصل. مثال: 5,7,8,9,10. ستقوم الحاسبة بترتيب البيانات وحساب دالة التوزيع التراكمي التجريبية (ECDF). دالة التوزيع التراكمي التجريبية عند نقطة x هي نسبة نقاط البيانات الأصغر من أو تساوي x.

الخطوة 2: حدد المتوسط (μ) والانحراف المعياري (σ) المفترضين للتوزيع الطبيعي الذي تريد اختبار البيانات مقابله. هذه هي معلمات التوزيع الطبيعي النظري تحت الفرضية الصفرية H0: البيانات تتبع N(μ, σ²).

الخطوة 3: تقوم الحاسبة بحساب دالة التوزيع التراكمي النظري للتوزيع الطبيعي باستخدام μ وσ المحددين عند كل نقطة بيانات. دالة التوزيع التراكمي تعطى بالصيغة Φ((x - μ)/σ)، حيث Φ هي دالة التوزيع التراكمي للمعيار الطبيعي.

الخطوة 4: إحصاء اختبار كولموجوروف-سميرنوف D هو أقصى فرق مطلق بين دالة التوزيع التراكمي التجريبية ودالة التوزيع التراكمي النظرية. رياضياً، D = max|F_n(x) - F(x)|، حيث F_n هي دالة التوزيع التراكمي التجريبية و F هي دالة التوزيع التراكمي النظرية. يقيس D مدى انحراف التوزيع التجريبي عن التوزيع المفترض.

الأسئلة الشائعة

كلا الاختبارين يقيمان ما إذا كانت العينة تأتي من توزيع طبيعي، لكنهما يختلفان في المنهجية والحساسية. يقارن اختبار كولموجوروف-سميرنوف دالة التوزيع التراكمي التجريبية (ECDF) للعينة بدالة التوزيع التراكمي النظرية لتوزيع طبيعي محدد. وهو اختبار غير معلمي يمكن استخدامه لأي توزيع مستمر، وليس فقط التوزيع الطبيعي. ومع ذلك، عندما يتم تقدير المعلمات (المتوسط والتباين) من البيانات، يصبح اختبار KS القياسي متحفظاً (أي يفشل في الرفض كثيراً) لأنه لا يتم تعديله للمعلمات المقدرة. يقوم اختبار ليليفور بتصحيح ذلك. تم تصميم اختبار شابيرو-ويلك خصيصًا لاختبار التوزيع الطبيعي وهو بشكل عام أقوى في كشف الانحرافات عن التوزيع الطبيعي، خاصة مع أحجام العينات الصغيرة والمتوسطة. يستخدم الارتباط بين إحصاءات ترتيب العينة وإحصاءات الترتيب للتوزيع الطبيعي. عملياً، يُفضل اختبار شابيرو-ويلك لاختبار التوزيع الطبيعي، لكن اختبار KS أكثر مرونة للمقارنة مع أي توزيع مستمر. اختبار KS حساس أيضاً للاختلافات في الموقع والشكل، بينما اختبار شابيرو-ويلك حساس بشكل خاص للانحراف والتفرطح.

اختبار KS له عدة قيود. أولاً، هو الأكثر حساسية للانحرافات بالقرب من مركز التوزيع وأقل حساسية عند الأطراف. وهذا يعني أنه قد يفشل في كشف الاختلافات في الأطراف، والتي غالباً ما تكون مهمة في التطبيقات الإحصائية (مثل إدارة المخاطر). ثانياً، يتطلب الاختبار أن يكون التوزيع محدداً بالكامل، مما يعني أنه إذا قمت بتقدير المعلمات (مثل المتوسط والانحراف المعياري) من البيانات، فإن القيم الاحتمالية من اختبار KS القياسي غير صالحة؛ يجب استخدام اختبار يأخذ في الاعتبار تقدير المعلمات، مثل اختبار ليليفور للتوزيع الطبيعي. ثالثاً، اختبار KS مصمم للتوزيعات المستمرة؛ مع البيانات المنفصلة أو الروابط، يكون الاختبار متحفظاً. رابعاً، الاختبار أقل قوة من الاختبارات المتخصصة مثل شابيرو-ويلك للتوزيع الطبيعي. خامساً، تعتمد إحصاءة KS على أقصى فرق بين ECDF وCDF، والذي يمكن أن يتأثر بقيمة متطرفة واحدة. على الرغم من هذه القيود، يظل اختبار KS شائعاً لأنه بسيط وبديهي وقابل للتطبيق على أي توزيع مستمر.

إحصاءة D هي أقصى مسافة رأسية مطلقة بين دالة التوزيع التراكمي التجريبية (ECDF) للعينة ودالة التوزيع التراكمي النظرية (CDF) للتوزيع المفترض. تشير قيمة D الأصغر إلى تطابق أفضل بين العينة والتوزيع النظري. لا يحتوي الاختبار على قاعدة بسيطة لما يشكل قيمة D 'كبيرة' لأنها تعتمد على حجم العينة ومستوى الدلالة. عادة، لحجم عينة معين، تقارن D بقيمة حرجة من توزيع كولموجوروف. إذا تجاوزت D القيمة الحرجة، ترفض الفرضية الصفرية. على سبيل المثال، مع n=20 و α=0.05، القيمة الحرجة حوالي 0.294. قيمة D=0.124 لن تكون دالة إحصائية. تعطي القيمة الاحتمالية احتمال ملاحظة D على الأقل بنفس التطرف الذي تم حسابه، بافتراض أن الفرضية الصفرية صحيحة. تشير القيمة الاحتمالية الصغيرة (≤0.05) إلى دليل قوي ضد الفرضية الصفرية. تقيس إحصاءة D درجة الانحراف، ولكن يجب أيضاً مراعاة الأهمية العملية: قد تكون قيمة D صغيرة ذات دلالة إحصائية مع حجم عينة كبير، ولكن الفرق قد يكون ضئيلاً عملياً.

نعم، اختبار كولموجوروف-سميرنوف هو اختبار جودة توافق عام يمكن استخدامه لاختبار ما إذا كانت العينة تأتي من أي توزيع مستمر بمعلمات محددة بالكامل. على سبيل المثال، يمكنك اختبار ما إذا كانت البيانات تتبع توزيعاً أسياً بمعدل معين، أو توزيعاً منتظماً على فترة زمنية محددة. الإجراء هو نفسه: حساب ECDF، حساب CDF النظري للتوزيع المفترض، حساب D، والمقارنة مع القيم الحرجة. ومع ذلك، تنطبق نفس القيود: إذا قمت بتقدير المعلمات من البيانات، فإن الاختبار القياسي غير صالح. في مثل هذه الحالات، غالباً ما تستخدم اختبارات متخصصة مثل اختبار أندرسون-دارلينغ أو طرق bootstrap المعيارية. يكون اختبار KS مفيداً بشكل خاص عندما يكون لديك توزيع نظري في الاعتبار (مثل نموذج فيزيائي) وتريد التحقق من اتساق البيانات معه.

اختبار كولموجوروف-سميرنوف

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

أمثلة محلولة

الأسئلة الشائعة

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

1هل عينة من خمس قياسات [5, 7, 8, 9, 10] تأتي من توزيع طبيعي بمتوسط 8 وانحراف معياري 2؟

2اختبر ما إذا كانت عينة من 20 وقت انتظار (بالدقائق) في بنك: 3,5,7,8,9,10,12,13,15,16,17,18,20,21,22,24,25,27,28,30 تتبع توزيعاً طبيعياً بمتوسط 16 وانحراف معياري 8.

الأسئلة الشائعة