الإحصاء

دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي

احسب الاحتمال التراكمي للتوزيع الطبيعي P(X ≤ x)

أدخل القيم

املأ الحقول أدناه للحصول على النتيجة

المتوسط (μ)

الانحراف المعياري (σ)

المحتوى التعليمي والتفاصيل

خطوات الاستخدام

1. أدخل قيمة x التي تريد حساب الاحتمال التراكمي لها P(X ≤ x). هذه هي النقطة على المحور الأفقي لمنحنى التوزيع الطبيعي.

2. أدخل المتوسط (μ) للتوزيع الطبيعي. يحدد المتوسط مركز منحنى الجرس. للتوزيع الطبيعي المعياري، المتوسط هو 0.

3. أدخل الانحراف المعياري (σ)، الذي يقيس انتشار التوزيع. تأكد من أن σ > 0؛ وإلا فإن التوزيع غير محدد بشكل جيد.

4. تقوم الآلة الحاسبة بحساب الدرجة المعيارية (z): z = (x - μ) / σ. هذا يوحد القيمة، محولاً إياها إلى عدد الانحرافات المعيارية بعيداً عن المتوسط.

ℹ️ تنبيه عام: جميع العمليات الحسابية والنتائج المعروضة عبر هذه المنصة لأغراض تعليمية وإرشادية فقط. ولا نتحمل أي مسؤولية قانونية أو فقهية ناتجة عن استخدام هذه النتائج في اتخاذ قرارات مالية أو تنظيمية رسمية.

📅 آخر تحديث للبيانات: 25 سبتمبر 2026سياسة التحرير والمراجعة

أمثلة محلولة

تطبيقات عملية على دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي بخطوات الحل كاملة.

الحل
نريد P(X ≤ 130) حيث X ~ N(100, 15²). أولاً، نحسب الدرجة المعيارية: z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2. هذا يعني أن 130 تبعد انحرافين معياريين فوق المتوسط. الآن نحتاج Φ(2)، الاحتمال التراكمي للتوزيع الطبيعي المعياري عند z=2. باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري أو صيغة دالة الخطأ: Φ(2) = 0.5 * [1 + erf(2 / √2)] = 0.5 * [1 + erf(√2)]. قيمة دالة الخطأ erf(√2) ≈ 0.9545، وبالتالي Φ(2) ≈ 0.5 * (1 + 0.9545) = 0.5 * 1.9545 = 0.97725. إذن الاحتمال حوالي 0.9772 أو 97.72%. وهذا يعني أن حوالي 97.72% من السكان لديهم درجة ذكاء 130 أو أقل. بالمقابل، احتمال أن يكون لديهم درجة ذكاء فوق 130 هو حوالي 2.28%.

الأسئلة الشائعة

دالة كثافة الاحتمال (PDF) يُرمز لها f(x) وتعطي ارتفاع منحنى الطبيعي عند نقطة محددة x. تمثل الاحتمال النسبي لقرب المتغير العشوائي من القيمة x. لكن PDF لا تعطي الاحتمالات مباشرة؛ احتمال أن تقع X في فترة [a, b] هو المساحة تحت PDF من a إلى b. أما دالة التوزيع التراكمي (CDF) فتُرمز لها F(x) = P(X ≤ x) وتعطي الاحتمال التراكمي حتى x. وهي دالة غير متناقصة تبدأ من 0 (عند x → -∞) وتقترب من 1 (عند x → +∞). يتم الحصول على CDF بتكامل PDF من سالب اللانهاية إلى x. عملياً، CDF أكثر فائدة للإجابة على أسئلة الاحتمال مثل 'ما احتمال أن تكون القيمة أقل من قيمة معينة؟' بينما PDF تُستخدم لتصور شكل التوزيع. بالنسبة للتوزيع الطبيعي، لا توجد صيغة مغلقة بسيطة لـ CDF، لذا تُحسب باستخدام دوال خاصة مثل دالة الخطأ.

التوزيع الطبيعي العكسي (أو دالة الكمية) هو معكوس CDF. لاحتمال معين p (0 < p < 1)، فإنه يُرجع القيمة x بحيث P(X ≤ x) = p، أي x = F^{-1}(p). بالنسبة للتوزيع الطبيعي المعياري، يُرمز له غالباً Φ^{-1}(p). القيم الشائعة: Φ^{-1}(0.975) ≈ 1.96، المستخدمة لفترات الثقة 95%. عملياً، لا يمكن حساب المعكوس تحليلياً؛ يتطلب طرقاً عددية. العديد من الآلات الحاسبة والبرامج الإحصائية (مثل أمر NORM.INV في إكسل) تستخدم خوارزميات تكرارية لحل F(x) = p. لتوزيع طبيعي عام بمتوسط μ وانحراف معياري σ، الكمية هي x = μ + σ * Φ^{-1}(p). هذا أمر بالغ الأهمية لتحديد فترات الثقة والنسب المئوية وقيمة المخاطرة في المالية.

قاعدة 68-95-99.7 (المعروفة أيضاً بالقاعدة التجريبية) تنص على أنه للتوزيع الطبيعي: حوالي 68% من البيانات تقع ضمن انحراف معياري واحد عن المتوسط (أي بين μ - σ و μ + σ)؛ حوالي 95% ضمن انحرافين معياريين؛ وحوالي 99.7% ضمن ثلاثة انحرافات معيارية. هذه النسب المئوية تأتي من CDF: P(μ - σ ≤ X ≤ μ + σ) = Φ(1) - Φ(-1) = 2Φ(1) - 1 ≈ 0.6827؛ وبالمثل لـ 2σ: 2Φ(2) - 1 ≈ 0.9545؛ ولـ 3σ: 2Φ(3) - 1 ≈ 0.9973. القاعدة هي طريقة سريعة لتقدير التباين في توزيع طبيعي دون حسابات معقدة. تُستخدم على نطاق واسع في مراقبة الجودة (ستة سيجما)، والإحصاءات، وتحليل البيانات لتحديد القيم الشاذة وفهم الانتشار.

التوزيع الطبيعي أساسي بسبب نظرية النهاية المركزية (CLT)، التي تنص على أن مجموع (أو متوسط) العديد من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزع يميل نحو التوزيع الطبيعي، بغض النظر عن التوزيع الأصلي، مع زيادة حجم العينة. وهذا يفسر لماذا العديد من الظواهر الطبيعية (الأطوال، أخطاء القياس، درجات الذكاء) تتبع تقريباً توزيعاً طبيعياً. بالإضافة إلى ذلك، هو حجر الزاوية في الإحصاءات الاستدلالية: العديد من الاختبارات الإحصائية (اختبار t، تحليل التباين) تفترض الطبيعية. تُستخدم CDF لحساب القيم الاحتمالية (p-values) وفترات الثقة. في المالية، غالباً ما تُنمذج عوائد الأصول كتوزيع طبيعي لإدارة المخاطر (مع الحذر بسبب الذيل السميك). في مراقبة الجودة، يساعد التوزيع الطبيعي في تعيين حدود التحكم. خصائصه الرياضية (المتماثل، المحدد بالمتوسط والتباين) تجعله قابل للمعالجة التحليلية.

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

1توزيع درجات الذكاء (IQ) طبيعي بمتوسط 100 وانحراف معياري 15. ما احتمال أن يكون لدى شخص تم اختياره عشوائياً درجة ذكاء تساوي 130 أو أقل؟

2أطوال النساء البالغات في مجموعة سكانية تتبع توزيعاً طبيعياً بمتوسط 165 سم وانحراف معياري 7 سم. ما احتمال أن تكون امرأة تم اختيارها عشوائياً أطول من 180 سم؟

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة