دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع الطبيعي

خطوات الاستخدام

الخطوة 1: فهم دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع الطبيعي. تصف دالة الكثافة الاحتمالية (PDF) الاحتمال النسبي لمتغير عشوائي مستمر لاتخاذ قيمة معينة x. تُعرف بالصيغة f(x) = (1/(σ√(2π))) * exp(-((x-μ)^2)/(2σ^2))، حيث μ هو المتوسط (الموضع المركزي) وσ هو الانحراف المعياري (الانتشار). تحسب هذه الآلة f(x) لأي إدخال رقمي.

الخطوة 2: أدخل قيمة x، النقطة التي تريد تقييم دالة الكثافة عندها. يمكن أن يكون أي عدد حقيقي. على سبيل المثال، إذا كنت تحلل درجات الذكاء، يمكنك إدخال x=130 لإيجاد الاحتمال النسبي لدرجة ذكاء 130.

الخطوة 3: أدخل المتوسط (μ) لتوزيعك. المتوسط هو مركز منحنى الجرس. بالنسبة للاختبارات المعيارية، قد يكون المتوسط 100. بالنسبة للارتفاعات، قد يكون 170 سم. يحدد المتوسط موقع ذروة دالة الكثافة.

الأسئلة الشائعة

دالة الكثافة الاحتمالية (PDF) للتوزيع الطبيعي، والتي يُرمز لها f(x)، هي دالة تعطي الاحتمال النسبي لمتغير عشوائي يأخذ قيمة محددة x. إنها ليست احتمالًا بحد ذاتها لأنه بالنسبة للمتغيرات المستمرة، فإن احتمال أي قيمة محددة هو صفر. يشير ارتفاع منحنى دالة الكثافة عند أي نقطة إلى مدى تركيز الاحتمال حول تلك النقطة. المساحات تحت منحنى دالة الكثافة فوق الفترات تعطي الاحتمالات. في المقابل، تعطي دالة التوزيع التراكمي (CDF)، التي يُرمز لها F(x)، احتمال أن يكون المتغير العشوائي أقل من أو يساوي x، أي التكامل من -∞ إلى x لـ f(t) dt. بينما تُظهر دالة الكثافة شكل التوزيع (منحنى الجرس)، فإن دالة التوزيع التراكمي هي دالة متزايدة على شكل حرف S تتراوح من 0 إلى 1. بالنسبة للتوزيع الطبيعي، تكون دالة الكثافة متماثلة حول المتوسط وتكون ذروتها عند المتوسط. قيمة دالة التوزيع التراكمي عند المتوسط هي 0.5. عمليًا، إذا كنت تريد احتمال نطاق من القيم، فاستخدم دالة التوزيع التراكمي: P(a < X < b) = F(b) - F(a). دالة الكثافة وحدها تعطي الكثافة فقط، وليس الاحتمال.

القيمة العددية لدالة الكثافة f(x) هي الكثافة عند النقطة x. وحداتها هي 'احتمال لكل وحدة من x'. لذلك إذا تم قياس x بالبوصة و f(x)=0.02، فهذا يعني أن كثافة الاحتمال تساوي 0.02 لكل بوصة. للحصول على احتمال فعلي، يجب الضرب في عرض الفترة (dx). لفترة صغيرة جدًا dx حول x، الاحتمال التقريبي هو f(x)*dx. لفترة محدودة، تقوم بالتكامل. لذا فإن قيمة دالة الكثافة 0.02 عند x تعني أن القيم القريبة من x أكثر احتمالًا نسبيًا من حيث تكون دالة الكثافة أقل. ومع ذلك، يمكن أن تتجاوز قيمة دالة الكثافة 1 – على سبيل المثال، عند متوسط توزيع طبيعي بانحراف معياري صغير، يمكن أن تكون دالة الكثافة >1. هذا لا يشير إلى احتمال أكبر من 1؛ إنه يعني ببساطة أن الكثافة عالية. المفتاح هو أن المساحة الكلية تحت منحنى دالة الكثافة تساوي دائمًا 1. لذلك لمقارنة الاحتمالات، تقارن قيم دالة الكثافة عند نقاط مختلفة، مع مراعاة انتشار التوزيع. بالنسبة للتوزيعات الطبيعية، أقصى دالة كثافة تكون عند المتوسط وتساوي 1/(σ√(2π)). بالنسبة لـ σ=1، الحد الأقصى ≈ 0.3989؛ بالنسبة لـ σ=0.5، الحد الأقصى ≈ 0.7979.

يتم تعريف التوزيع الطبيعي بواسطة معلمتين: المتوسط μ والانحراف المعياري σ. دالة الكثافة مشتقة من دالة غاوس. الافتراضات الرئيسية: التوزيع متماثل حول μ، مع ذروة واحدة عند μ. نقاط الانعطاف تقع عند μ±σ. يمتد إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين (من -∞ إلى +∞)، ولكن تقع كل الاحتمالات تقريبًا ضمن μ±3σ (حوالي 99.7%). يصمم التوزيع العديد من الظواهر الطبيعية بسبب نظرية الحد المركزي، التي تنص على أن مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة تميل إلى أن تكون موزعة بشكل طبيعي. الخصائص: المتوسط والوسيط والمنوال متساوون. يتميز التوزيع تمامًا بلحظتيه الأوليين. دالة الكثافة مستمرة وقابلة للاشتقاق. لا يوجد تعبير مغلق لدالة التوزيع التراكمي لتكامل دالة الكثافة، ولكن يتم حسابها باستخدام دوال الخطأ. التوزيع الطبيعي هو أساس العديد من الاختبارات الإحصائية وفترات الثقة.

يضمن الثابت 1/(σ√(2π)) أن المساحة الكلية تحت منحنى دالة الكثافة على الخط الحقيقي بأكمله تساوي 1. هذا هو شرط التسوية لأي دالة كثافة احتمالية. يأتي √(2π) من تكامل غاوس ∫_{-∞}^{∞} e^{-u^2/2} du = √(2π). يضبط 1/σ الانتشار: إذا كان σ أكبر، يكون المنحنى أعرض، لذلك يجب أن يكون الارتفاع أقل للحفاظ على ثبات المساحة. تحديدًا، تكامل الجزء الأسي غير المسوى ∫ exp(-((x-μ)^2)/(2σ^2)) dx = σ√(2π). بقسمة ذلك على هذه القيمة، يصبح التكامل الكلي 1. لذا فإن الثابت ضروري لكي تكون دالة الكثافة دالة كثافة احتمالية صالحة. بدونه، ستظل الدالة لها نفس الشكل لكنها لن تكامل إلى 1، وبالتالي لا يمكن استخدامها لحساب الاحتمالات.

دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع الطبيعي

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

أمثلة محلولة

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

1ما هي كثافة الاحتمال لدرجة ذكاء 130، بمتوسط 100 وانحراف معياري 15؟

2لتوزيع طبيعي لارتفاعات الذكور البالغين بمتوسط 175 سم وانحراف معياري 7 سم، ما هي الكثافة عند 160 سم؟

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة