التوزيع التراكمي لبواسون

خطوات الاستخدام

الخطوة 1: فهم توزيع بواسون. يصف توزيع بواسون احتمال حدوث عدد معين من الأحداث (k) خلال فترة زمنية أو مكانية ثابتة، بشرط أن تحدث هذه الأحداث بمعدل متوسط ثابت (λ) وبشكل مستقل عن الزمن منذ الحدث الأخير. دالة الكتلة الاحتمالية هي P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!. دالة التوزيع التراكمي تعطي P(X ≤ k) = Σ_{i=0}^{k} (e^(-λ) * λ^i) / i!.

الخطوة 2: تحديد المعاملات الخاصة بك. أدخل معدل المتوسط λ (لامدا)، والذي يجب أن يكون عددًا حقيقيًا موجبًا (λ > 0). أدخل الحد الأقصى k، وهو عدد صحيح غير سالب (k ≥ 0). تستند هذه القيم إلى السيناريو الواقعي: λ تمثل متوسط عدد مرات الحدوث لكل وحدة زمنية، و k هو الحد الأقصى لعدد الأحداث التي تهتم بها.

الخطوة 3: حساب الاحتمالات الفردية. لكل عدد صحيح i من 0 إلى k، احسب الحد T_i = (e^(-λ) * λ^i) / i!. يتضمن ذلك حساب الأسي e^(-λ)، ورفع λ إلى القوة i، ومضروب i!. بالنسبة للقيم الكبيرة لـ i، استخدم اللوغاريتمات أو الضرب التكراري لتجنب الفائض.

الأسئلة الشائعة

اشتق توزيع بواسون كحالة حدية للتوزيع ذي الحدين عندما يكون عدد المحاولات n كبيراً واحتمال النجاح p صغيراً، بحيث يظل المتوسط np = λ ثابتاً. في التوزيع ذي الحدين، لدينا عدد ثابت من المحاولات واحتمال نجاح ثابت لكل محاولة. بالنسبة لـ n الكبيرة و p الصغيرة، يصبح حساب الاحتمالات ذي الحدين مكثفاً حسابياً، لكن تقريب بواسون يوفر صيغة أبسط. كما أن توزيع بواسون يصوغ الأحداث التي تحدث بشكل مستقل على فاصل زمني متصل، بينما يصوغ ذو الحدين أحداثاً متقطعة. ومع ذلك، غالباً ما يستخدم بواسون لتقريب ذي الحدين عندما يكون n ≥ 20 و p ≤ 0.05، أو بشكل عام عندما يكون n كبيراً و p صغيراً. تزداد الدقة بازدياد n وانخفاض p. على سبيل المثال، إذا كان لديك 1000 محاولة مستقلة مع احتمالية نجاح 0.002، فإن احتمال ذي الحدين لنجاحين بالضبط هو حوالي 0.2707، بينما يعطي تقريب بواسون مع λ=2 نفس القيمة. بالنسبة للاحتمالات التراكمية، يكون التقريب جيداً. هذه العلاقة أساسية في الإحصاء، مما يسمح بتبسيط مسائل ذات الحدين المعقدة.

يعتمد توزيع بواسون على عدة افتراضات رئيسية: (1) الأحداث تحدث بشكل مستقل؛ حدوث حدث لا يؤثر على احتمال حدوث آخر. (2) متوسط المعدل λ ثابت خلال الفاصل الزمني أو المكاني؛ لا يوجد اتجاه أو موسمية. (3) احتمال حدوث حدث في فاصل صغير جداً يتناسب مع طول الفاصل، واحتمال حدوث أكثر من حدث في فاصل صغير جداً لا يُذكر (قانون الأحداث النادرة). (4) عدد الأحداث في فترات متجاورة مستقلة. تشير هذه الافتراضات إلى أن العملية لا ذاكرة لها وثابتة. في التطبيقات الواقعية، قد تنتهك هذه الافتراضات، لكن توزيع بواسون غالباً ما يكون قوياً. على سبيل المثال، في نظرية الاصطفاف، غالباً ما يتم تصميم وصول العملاء كعملية بواسون إذا كانت الوصولات عشوائية ومستقلة. إذا كانت الأحداث متجمعة (مثل الزلازل)، تفشل الافتراضات، وقد يكون توزيع ثنائي سلبي أكثر ملاءمة. يساعد فهم هذه الافتراضات في تحديد ما إذا كان نموذج بواسون مناسباً لمجموعة بيانات معينة.

بالنسبة لـ λ الكبيرة، يمكن أن يؤدي الجمع المباشر لحدود دالة الكتلة الاحتمالية لبواسون إلى تجاوز سعة رقمية بسبب المضروب والأسس. توجد عدة طرق: (1) استخدام العلاقة بين توزيع بواسون وتوزيع مربع كاي: P(X ≤ k) = 1 - F_{χ²}(2λ; 2(k+1))، حيث F_{χ²} هي دالة التوزيع التراكمي لمربع كاي بدرجات حرية 2(k+1). هذه العلاقة دقيقة ويمكن حسابها باستخدام خوارزميات موثوقة لدالة CDF لمربع كاي. (2) استخدام دالة غاما غير الكاملة: P(X ≤ k) = Γ(k+1, λ) / Γ(k+1)، حيث Γ(a, x) هي دالة غاما غير الكاملة العليا. توفر العديد من المكتبات دوال غاما. (3) التقريب عبر التوزيع الطبيعي: بالنسبة لـ λ الكبيرة، يقترب توزيع بواسون من التوزيع الطبيعي بمتوسط λ وتباين λ. تصحيح الاستمرارية يحسن الدقة: P(X ≤ k) ≈ Φ((k+0.5 - λ)/√λ)، حيث Φ هي دالة التوزيع التراكمي الطبيعي المعياري. (4) استخدام الخوارزميات التكرارية مثل خوارزمية أبرامويتز وستيغان للاحتمال التراكمي لبواسون. تستخدم معظم البرامج الإحصائية والآلات الحاسبة هذه الطرق القوية للتعامل مع λ الكبيرة. عند استخدام حاسبة Poisson CDF، تأكد من أنها تطبق هذه التقنيات لتجنب عدم الدقة.

نعم، يمتد توزيع بواسون إلى العمليات المكانية، وغالباً ما تسمى عملية بواسون المكانية. بدلاً من الزمن، يكون الفاصل منطقة من الفضاء (مثل المساحة، الحجم). تمثل المعلمة λ متوسط عدد الأحداث لكل وحدة مساحة (أو حجم). تظل الافتراضات: الأحداث تحدث بشكل عشوائي ومستقل في المنطقة، بكثافة ثابتة. على سبيل المثال، عدد قطرات المطر على مساحة ثابتة من نافذة في هطول مطري ثابت، أو عدد العيوب لكل متر مربع في مادة مصنعة، غالباً ما يتبع توزيع بواسون. يعطي الاحتمال التراكمي P(X ≤ k) احتمال أن يكون عدد الأحداث على الأكثر k في المنطقة المحددة. هذا أساسي في مجالات مثل علم البيئة (مثل عدد الأشجار لكل هكتار)، وعلم الأوبئة (مثل حالات المرض لكل منطقة بريدية)، ومراقبة الجودة (مثل عدد العيوب لكل وحدة مساحة). ومع ذلك، إذا كان هناك تجميع أو تثبيط (مثل تنافس الأشجار على الموارد)، فقد لا ينطبق نموذج بواسون المكاني، ويلزم نماذج نقطية مكانية أخرى.

التوزيع التراكمي لبواسون

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

أمثلة محلولة

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

1يتلقى مركز اتصالات متوسط 3.5 مكالمات في الدقيقة. ما احتمال وصول 5 مكالمات على الأكثر في دقيقة معينة؟

2مرض نادر يصيب 0.02% من السكان. في عينة من 1000 شخص، ما احتمال أن يصاب شخص واحد على الأكثر بالمرض؟

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة