حاسبة الانحدار

خطوات الاستخدام

أدخل أزواج البيانات (x, y) في حقل الإدخال. يفصل كل زوج بفاصلة منقوطة، وداخل كل زوج، افصل قيم x و y بفاصلة. على سبيل المثال: '1,2;2,3;3,4'. تقوم الآلة الحاسبة بتحليل هذه المدخلات تلقائياً إلى مصفوفتين.

تحسب الآلة الحاسبة متوسطات x و y، ويُرمز لهما بـ x̄ و ȳ. وتحسب الانحرافات عن المتوسطات وحاصل ضربها ومربعاتها. تحديداً، تجمع (x - x̄)(y - ȳ) للتباين المشترك و (x - x̄)² لتباين x.

يتم حساب الميل (b) لخط الانحدار بالصيغة b = Σ((x - x̄)(y - ȳ)) / Σ((x - x̄)²). يمثل هذا متوسط التغير في y لتغير بمقدار وحدة واحدة في x.

ثم يُحسب المقطع (a) بالصيغة a = ȳ - b * x̄. معادلة الانحدار هي ŷ = a + bx، حيث ŷ هي القيمة المتوقعة لـ y عند x معين.

الأسئلة الشائعة

يعتمد الانحدار الخطي على عدة افتراضات رئيسية: الخطية (العلاقة بين x و y خطية)، الاستقلال (المشاهدات مستقلة عن بعضها البعض)، ثبات التباين (تباين ثابت للبواقي عبر جميع مستويات x)، التوزيع الطبيعي (البواقي موزعة طبيعياً)، وفي الانحدار المتعدد، عدم وجود ارتباط متعدد بين المتغيرات المستقلة. بالنسبة للانحدار الخطي البسيط، الافتراضات الرئيسية هي الخطية والاستقلال وثبات التباين والتوزيع الطبيعي. يمكنك التحقق من الخطية برسم البيانات والبحث عن نمط خطي مستقيم. إذا أظهر مخطط التشتت انحناءً، ففكر في التحويلات. يمكن تقييم ثبات التباين برسم البواقي مقابل القيم المتوقعة؛ يجب أن تكون البواقي مبعثرة عشوائياً حول الصفر دون شكل قمعي. يمكن التحقق من التوزيع الطبيعي باستخدام مخطط Q-Q للبواقي أو اختبار التوزيع الطبيعي مثل شابيرو-ويلك. إذا تم انتهاك الافتراضات، فقد تحتاج إلى أخطاء معيارية قوية، أو تحويلات (مثل اللوغاريتم أو الجذر التربيعي)، أو طرق غير معلمية. تعطي الآلة الحاسبة R² ومعادلة الانحدار، لكنها لا تتحقق من الافتراضات – يجب عليك التحقق منها بشكل منفصل. على سبيل المثال، إذا أظهرت بياناتك اتجاهاً تربيعياً واضحاً، فإن الانحدار الخطي البسيط سيعطي R² منخفضاً مضللاً وتوقعات منحازة. قم دائماً بتصور بياناتك أولاً.

الارتباط يحدد قوة واتجاه العلاقة الخطية بين متغيرين، عادةً باستخدام معامل بيرسون r، الذي يتراوح بين -1 و 1. وهو متماثل، بمعنى أن الارتباط بين x و y هو نفسه بين y و x. من ناحية أخرى، يقوم الانحدار بنمذجة العلاقة عن طريق ملاءمة خط يتنبأ بمتغير واحد (المتغير التابع) من متغير آخر (المتغير المستقل). على عكس الارتباط، الانحدار غير متماثل: نفترض أن x ثابت و y عشوائي. الميل في الانحدار لا يساوي معامل الارتباط، لكنهما مرتبطان: b = r * (sy / sx)، حيث sy و sx هما الانحرافان المعياريان. بالإضافة إلى ذلك، يوفر الانحدار معادلة تنبؤية ويسمح لنا بتفسير تأثير x على y بوحدات y. على سبيل المثال، الارتباط 0.8 لا يخبرنا بعدد الوحدات التي تتغير بها y عندما تزيد x بمقدار وحدة واحدة؛ الانحدار يعطي ذلك التغيير بالضبط. باختصار، الارتباط هو إحصاء وصفي، بينما الانحدار أداة تنبؤية. في البحث العلمي، يفضل الانحدار غالباً للاستدلال السببي، ولكن يجب الحذر لأن الارتباط لا يعني السببية.

في معادلة الانحدار الخطي البسيط ŷ = a + bx، يمثل الميل b متوسط التغير في القيمة المتوقعة لـ y لكل زيادة بمقدار وحدة واحدة في x. على سبيل المثال، إذا كان b = 2، فلكل وحدة إضافية من x، من المتوقع أن تزيد y بمقدار وحدتين. المقطع a هو القيمة المتوقعة لـ y عندما x = 0. ومع ذلك، قد يكون تفسير المقطع بلا معنى إذا كانت x=0 خارج نطاق البيانات أو مستحيلة فيزيائياً. على سبيل المثال، في دراسة عن العمر والطول، سيكون المقطع هو الطول المتوقع عند العمر 0 (الولادة)، والذي قد يكون سالباً أو غير واقعي. لذلك، غالباً ما يكون من المفيد توسيط x بطرح متوسطها، بحيث يصبح المقطع هو y المتوقع عند متوسط x. أيضاً، تفسير الميل يعتمد على الوحدات: إذا كانت x بالساعات وy بالدرجات، فإن الميل هو درجة لكل ساعة. ضع في اعتبارك السياق دائماً. يمكن للقيم المتطرفة أن تؤثر بشدة على خط الانحدار، لذلك قد تكون هناك حاجة إلى انحدار قوي أو تشخيصات (مثل مسافة كوك). توفر الآلة الحاسبة هذه القيم مباشرة، ولكن يجب عليك التحقق من مخططات التشتت.

R²، معامل التحديد، يقيس نسبة التباين الكلي في المتغير التابع (y) التي يفسرها المتغير المستقل (x) في نموذج الانحدار الخطي. يتراوح من 0 إلى 1، حيث 0 يعني أن النموذج لا يفسر أي تباين، و1 يعني أنه يفسر كل التباين. على سبيل المثال، R² بقيمة 0.85 يشير إلى أن 85% من التباين في y يُعزى إلى العلاقة الخطية مع x. يُحسب R² بالصيغة 1 - (SS_res / SS_tot)، حيث SS_res هو مجموع مربعات البواقي (التباين غير المفسر) و SS_tot هو مجموع المربعات الكلي (التباين الكلي). بينما يعتبر R² المرتفع مرغوباً، إلا أنه غير كافٍ: يمكن أن يحدث R² مرتفع حتى لو كان النموذج محدداً بشكل خاطئ (مثل فرط التخصيص) أو إذا كانت هناك قيم متطرفة تؤثر على الملاءمة. أيضاً، لا يمكن مقارنة R² عبر نماذج بأعداد مختلفة من المتنبئات أو تحويلات مختلفة. في الانحدار الخطي البسيط، R² هو ببساطة مربع معامل ارتباط بيرسون بين x و y. على سبيل المثال، إذا كان r = 0.9، فإن R² = 0.81، مما يعني أن 81% من التباين في y يفسره x. تعرض الآلة الحاسبة R² كجزء من النتائج، مما يساعدك على قياس القوة التفسيرية للنموذج.

حاسبة الانحدار

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

أمثلة محلولة

الأسئلة الشائعة

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

1باحث يجمع بيانات عن ساعات الدراسة (x) ودرجات الامتحان (y) لـ 5 طلاب: (2, 50), (3, 55), (5, 65), (6, 70), (8, 85). أوجد معادلة الانحدار وتوقع درجة طالب يدرس 4 ساعات.

الأسئلة الشائعة