توزيع t (ستيودنت)

خطوات الاستخدام

الخطوة 1: فهم توزيع t لستيودنت. هو توزيع احتمالي يُستخدم عندما يكون حجم العينة صغيراً والانحراف المعياري للسكان غير معروف. وهو متماثل على شكل جرس مثل التوزيع الطبيعي لكن ذو ذيل أثقل، مما يعني أنه أكثر عرضة لإنتاج قيم بعيدة عن المتوسط. يعتمد الشكل على درجات الحرية (df).

الخطوة 2: أدخل القيمة x التي تريد حساب دالة كثافة الاحتمال (PDF) عندها. تعطي دالة PDF الاحتمال النسبي لوقوع تلك القيمة. وأيضاً أدخل درجات الحرية df، والتي عادة ما تكون حجم العينة ناقص واحد (n−1) لاختبار الفرضيات. تستخدم الآلة الحاسبة هذه المدخلات لتقييم دالة PDF لتوزيع t.

الخطوة 3: معادلة PDF لتوزيع t هي f(t) = Γ((ν+1)/2) / (√(νπ) Γ(ν/2)) * (1 + t²/ν)^(−(ν+1)/2) حيث ν = df. تقوم الآلة الحاسبة بحساب ذلك بدقة، باستخدام دالة جاما عددياً. درجات الحرية العالية تجعل توزيع t يقترب من التوزيع الطبيعي المعياري.

الأسئلة الشائعة

توزيع t لستيودنت هو عائلة من التوزيعات التي تظهر عند تقدير متوسط مجتمع موزع طبيعياً في حالات يكون فيها حجم العينة صغيراً والانحراف المعياري للسكان غير معروف. طوره ويليام سيلي جوسيت تحت اسم مستعار 'ستيودنت'. الفرق الرئيسي هو أن توزيع t له ذيول أثقل من التوزيع الطبيعي، مما يعني أنه أكثر عرضة لإنتاج قيم بعيدة عن المتوسط. وهذا يعوض عن عدم اليقين الإضافي الناتج عن تقدير الانحراف المعياري للسكان من العينة. مع زيادة درجات الحرية (df)، يقترب توزيع t من التوزيع الطبيعي المعياري. عملياً، عندما تكون df > 30، يكون الفرق ضئيلاً، وتشير العديد من الكتب المدرسية إلى استخدام التوزيع الطبيعي للعينات الكبيرة. ولكن بالنسبة للعينات الصغيرة (df < 30) أو عندما يكون تباين السكان غير معروف، يُفضل توزيع t. يُستخدم توزيع t بشكل شائع في اختبار الفرضيات (اختبارات t) وبناء فترات الثقة للمتوسط. وهو أيضاً أساس إحصاء t-test، الذي يتبع توزيع t تحت الفرضية الصفرية. معادلة إحصاء t هي t = (x̄ - μ) / (s/√n)، حيث s هو الانحراف المعياري للعينة. تتم مقارنة هذا الإحصاء مع توزيع t بدرجات حرية n-1 لحساب القيم الاحتمالية. فهم دالة PDF أمر بالغ الأهمية لأنه يسمح لك بحساب احتمال ملاحظة قيمة t معينة، وهو أساس الإحصاء الاستدلالي.

دالة كثافة الاحتمال (PDF) في حد ذاتها تعطي ارتفاع التوزيع عند قيمة t محددة. لحساب القيمة الاحتمالية لاختبار ثنائي الذيل، تحتاج إلى دالة التوزيع التراكمي (CDF)، وهي تكامل PDF من سالب اللانهاية إلى نقطة ما. ومع ذلك، فإن PDF ضرورية لفهم الشكل وللتكامل العددي. بالنسبة لاختبار ثنائي الذيل بفرضية صفرية μ = μ0 وإحصاء t، تكون القيمة الاحتمالية 2 * (1 - CDF(|t|)) حيث CDF هي دالة التوزيع التراكمي لتوزيع t مع درجات الحرية المناسبة. يتم الحصول على CDF بتكامل PDF من -∞ إلى |t|. على سبيل المثال، إذا كان لديك t = 2.1 مع 15 درجة حرية، فستحسب المساحة تحت منحنى توزيع t على يمين 2.1 وتضاعفها (لأنها ثنائية الذيل). قيمة PDF عند t=2.1 حوالي 0.055، لكن هذا ليس الاحتمال؛ الاحتمال هو المساحة. ومع ذلك، فإن معرفة PDF تساعدك على تقريب مساحة الذيل بالمقارنة مع التوزيع الطبيعي. الآلات الحاسبة والبرامج الحديثة تحسب CDF مباشرة. لكن فهم PDF هو المفتاح لاستيعاب سبب وجود ذيول أثقل لتوزيع t: تظل PDF مرتفعة نسبياً للقيم المتطرفة مقارنة بالتوزيع الطبيعي، مما يؤدي إلى قيم احتمالية أكبر (أكثر تحفظاً) للعينات الصغيرة.

يشتق توزيع t بافتراض أن المجتمع الأساسي موزع طبيعياً. لكن عملياً، غالباً ما يكون قوياً في مواجهة الانحرافات المعتدلة عن الطبيعية، خاصة عندما يكون حجم العينة كبيراً بما يكفي. تضمن نظرية النهاية المركزية أنه بالنسبة للعينات الكبيرة، فإن متوسط العينة يكون موزعاً طبيعياً تقريباً، لذا يعمل اختبار t بشكل جيد. لكن بالنسبة للعينات الصغيرة من توزيعات شديدة الانحراف، قد لا يكون اختبار t صالحاً. في مثل هذه الحالات، قد تكون الاختبارات غير المعلمية مثل اختبار ويلكوكسون للرتب ذات الإشارة أكثر ملاءمة. الافتراضات الرئيسية لاستخدام توزيع t في اختبار t لعينة واحدة هي: (1) البيانات مستقلة (غالباً من أخذ عينات عشوائية)، (2) توزيع المجتمع طبيعي تقريباً (خاصة لـ n صغيرة)، (3) البيانات مستمرة. مع اختبارات العينة المزدوجة أو المستقلة، هناك افتراضات إضافية مثل التباينات المتساوية لاختبار t لعينتين (على الرغم من وجود اختبار t لويلش الذي لا يفترض تبايناً متساوياً). يفترض PDF لتوزيع t أن الانحراف المعياري للعينة يُحسب من عينة طبيعية؛ إذا كانت البيانات غير طبيعية، فإن التوزيع العيني الفعلي لإحصاء t يمكن أن يختلف. ومع ذلك، لا تزال العديد من التطبيقات الواقعية تستخدم توزيع t لأنه أكثر تحفظاً من التوزيع الطبيعي ويعمل بشكل جيد لأحجام العينات المعتدلة.

يُعرَّف توزيع t فقط لدرجات حرية ν > 0. يعتمد شكله فقط على ν. بالنسبة لـ ν = 1، يكون التوزيع هو توزيع كوشي، الذي له تباين لانهائي وذيول ثقيلة. مع زيادة ν، تصبح الذيول أرق ويقترب التوزيع من التوزيع الطبيعي المعياري. متوسط توزيع t هو 0 لـ ν > 1 (وإلا غير معرف). التباين هو ν/(ν−2) لـ ν > 2؛ بالنسبة لـ ν ≤ 2، يكون التباين لانهائياً. لذا لـ ν = 3، التباين = 3/(1)=3، وهو أكبر من تباين التوزيع الطبيعي الذي يساوي 1. لـ ν = 10، التباين = 10/8 = 1.25. لـ ν = 30، التباين = 30/28 ≈ 1.0714. مع اقتراب ν من اللانهاية، يقترب التباين من 1. تتضمن معادلة PDF نفسها دالة جاما والتعبير (1 + t²/ν)^(-(ν+1)/2). بالنسبة لـ t ثابتة، مع زيادة ν، يقترب هذا الحد من exp(-t²/2). كما يقترب ثابت التطبيع من 1/√(2π). هذا التقارب هو السبب في أن توزيع t يكون طبيعياً تقريباً لـ ν الكبيرة. فهم هذه الخصائص يساعد في اختيار التوزيع الصحيح للاستدلال.

توزيع t (ستيودنت)

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

أمثلة محلولة

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

1احسب دالة كثافة الاحتمال لتوزيع t عند x = 1.5 و df = 5. فسر النتيجة في سياق اختبار فرضية بعينة صغيرة.

2لـ df = 30، أوجد PDF عند x = 0. قارن مع PDF للتوزيع الطبيعي المعياري عند 0. اشرح التشابه.

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة