فترة التسامح

خطوات الاستخدام

الخطوة 1: فهم الغرض – فترة التسامح (Tolerance Interval) تقدّر نطاقاً يحتوي على نسبة محددة (مثلاً 95%) من المجتمع الإحصائي بمستوى ثقة معين (مثلاً 99%). وهي تختلف عن فترة الثقة (التي تقدّر معلمة مثل المتوسط) أو فترة التنبؤ (التي تتنبأ بقيمة مفردة مستقبلية). يتم إنشاء الفترة كـ متوسط ± k × انحراف معياري، حيث k هو معامل يعتمد على حجم العينة n والنسبة p ومستوى الثقة γ.

الخطوة 2: إدخال المعاملات – أدخل متوسط العينة (x̄) كأفضل تقدير لمتوسط المجتمع. أدخل الانحراف المعياري للعينة (s) كتقدير للانحراف المعياري للمجتمع. حدد حجم العينة (n)، والنسبة المستهدفة (p) كرقم عشري بين 0 و1 (مثلاً 0.90 لـ 90%)، ومستوى الثقة (γ) كرقم عشري بين 0 و1 (مثلاً 0.95 لـ 95%). هذه القيم تؤثر مباشرة على معامل k.

الخطوة 3: حساب معامل k – معامل k لفترة تسامح ثنائية الجانب لتوزيع طبيعي يُحدد من جداول إحصائية أو تقريبات. لـ n و p و γ معطاة، تحقق المعادلة: P[Φ(μ + kσ) - Φ(μ - kσ) ≥ p] = γ، حيث Φ هي دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي المعياري. هذا يضمن أنه باحتمال γ، تغطي الفترة على الأقل نسبة p من المجتمع. تستخدم التقريبات الشائعة توزيعات t غير المركزية أو الصيغة k ≈ z_{(1+p)/2} * sqrt((n-1)/χ²_{γ, n-1}) للعينات الكبيرة، لكن القيم الدقيقة تتطلب جداول متخصصة أو برامج.

الأسئلة الشائعة

جميعها تقديرات نطاقية ولكنها تخدم أغراضاً مختلفة. فترة الثقة (CI) تقدّر معلمة مجتمع (مثل المتوسط) بمستوى معين من الثقة. على سبيل المثال، فترة ثقة 95% للمتوسط تعني أنه إذا كررنا أخذ العينات مرات عديدة، فإن 95% من هذه الفترات ستحتوي على المتوسط الحقيقي. فترة التنبؤ (PI) تقدّر قيمة مفردة مستقبلية من نفس المجتمع. فترة تنبؤ 95% لمشاهدة جديدة تعني أن هناك فرصة 95% أن تقع المشاهدة التالية ضمن تلك الفترة. فترة التسامح (TI) تقدّر نطاقاً يحتوي على نسبة محددة (مثلاً 95%) من المجتمع بأكمله بمستوى ثقة معين. فترة تسامح 95% بثقة 99% تعني أننا واثقون بنسبة 99% أن على الأقل 95% من قيم المجتمع تقع في هذا النطاق. الاختلافات الرئيسية: - CI هي الأضيق لأنها تحتاج فقط لتغطية معلمة (قيمة واحدة). - PI أوسع من CI لأنها يجب أن تغطي قيمة فردية مستقبلية مع عدم يقين. - TI أوسع حتى من PI لأنها يجب أن تغطي نسبة كبيرة من المجتمع، ويجب أن تفعل ذلك بثقة عالية. يزداد العرض مع زيادة النسبة، وزيادة الثقة، وتقليل حجم العينة. رياضياً: للبيانات الطبيعية: CI: متوسط ± t * sd/√n; PI: متوسط ± t * sd * sqrt(1 + 1/n); TI: متوسط ± k * sd، حيث k > t ويزداد مع n والتغطية المطلوبة. عملياً، تُستخدم فترات التسامح في مراقبة الجودة، والتصنيع، والرصد البيئي لضمان أن معظم المنتج أو المجتمع يفي بالمواصفات.

صيغة فترة التسامح القياسية تفترض أن المجتمع موزع بشكل طبيعي. إذا لم يمكن افتراض الطبيعية، فهناك عدة طرق: 1. فترات التسامح اللابارامترية: لا تفترض أي توزيع وتستخدم إحصاءات الرتب. لفترة ثنائية الجانب تغطي على الأقل نسبة p بثقة γ، نجد مواقع الرتب في العينة بحيث الفترة بين أصغر قيمة (L) وأكبر قيمة (U) تحتوي على الأقل p من المجتمع بثقة γ. حجم العينة المطلوب لـ p و γ معينة يكون غالباً كبيراً (مثلاً لـ p=0.95، γ=0.95، نحتاج n≈93 للحصول على فترة لابارامترية ثنائية الجانب). هذه الطريقة متحفظة لكن موثوقة. 2. التحويلات: إذا أمكن تحويل البيانات إلى طبيعية تقريباً (مثل تحويل لوغاريتمي للبيانات الملتوية)، احسب فترة التسامح على المقياس المحول ثم حول النتائج عكسياً. هذا يعمل جيداً للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي وغيره. 3. طرق خاصة بالتوزيع: للتوزيعات المحددة (أسي، ويبل، إلخ)، توجد فترات تسامح دقيقة أو تقريبية بناءً على معاملاتها. مثلاً، للبيانات الأسية، يمكن اشتقاق فترة التسامح من توزيع كاي تربيع. 4. طرق البوتستراب: يمكن استخدام تقنيات إعادة العينات لبناء فترات تسامح تقريبية دون افتراض شكل بارامتري محدد. لكن فترات البوتستراب غالباً ليست دقيقة وتتطلب أحجام عينات كبيرة لتكون موثوقة. عملياً، إذا انحرفت البيانات عن الطبيعية، من الأسلم استخدام الطرق اللابارامترية عندما يسمح حجم العينة، أو تحويل البيانات. تحقق دائماً من الطبيعية باستخدام منحنيات Q-Q أو اختبارات الفروض قبل تطبيق معامل k القائم على التوزيع الطبيعي.

فترة الثقة للمتوسط تقدّر معلمة واحدة (المتوسط). عدم اليقين يتناقص مع حجم العينة، لذا عرضها يتناسب مع 1/√n. فترة التسامح يجب أن تغطي نسبة كبيرة من المشاهدات الفردية، والتي لها تباين متأصل (الانحراف المعياري للمجتمع σ). حتى لو عرفنا σ تماماً، ستظل الفترة واسعة لأن الأفراد يختلفون. مع σ غير معروف، لدينا عدم يقين إضافي من تقدير σ، مما يزيد معامل k. رياضياً: مع σ معروف، ستكون فترة التسامح متوسط ± z_{(1+p)/2} * σ، وهي ثابتة بغض النظر عن n. مع σ غير معروف، نستخدم انحراف العينة s ومعامل k الذي يأخذ في الاعتبار عدم اليقين في المتوسط وفي σ. بالنسبة لـ n الكبير، يقترب k من z_{(1+p)/2} * sqrt((n-1)/χ²_{γ, n-1}) والذي يميل إلى z_{(1+p)/2} عندما n→∞ لأن χ²_{γ, n-1}/(n-1) → 1. لذا للعينات الكبيرة جداً، يقترب معامل k من الكم الطبيعي. لكن للعينات المتوسطة، k أكبر، مما يجعل الفترة أوسع. حجم العينة يؤثر على معامل k بشكل كبير. مثلاً، مع p=0.95 و γ=0.95: لـ n=10، k≈3.379; n=30، k≈2.590; n=100، k≈2.380; n=∞، k≈1.960. لذا مع زيادة n، تضيق الفترة لأن لدينا تقديرات أفضل لـ μ و σ، لكنها لا تصبح أبداً بقدر ضيق فترة الثقة لأنها يجب أن تغطي نسبة من المجتمع وليس فقط المتوسط. الخلاصة: فترات التسامح واسعة بطبيعتها، وزيادة حجم العينة يقلل من عدم اليقين الإضافي لكنه لا يمكن أن يلغي الحاجة لتغطية التباين الفردي.

فترة التسامح

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

أمثلة محلولة

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة