خطوات الاستخدام
الخطوة 1: حساب القصور الذاتي لكل عدد من المجموعات (K). قم بتشغيل خوارزمية K-means لكل K من 1 إلى عدد محدد (مثلاً 10). سجل قيمة القصور الذاتي (مجموع مربعات المسافات بين النقاط ومراكز مجموعاتها) لكل K. القصور الذاتي يتناقص مع زيادة K، والهدف هو إيجاد النقطة التي يبدأ فيها التناقص بالتباطؤ.
الخطوة 2: رسم منحنى القصور الذاتي مقابل K. أدخل قيم القصور الذاتي التي حصلت عليها في الحاسبة. ستقوم الحاسبة برسم منحنى بياني، حيث يكون المحور السيني هو K والمحور الصادي هو القصور الذاتي. ابحث عن النقطة التي يشبه فيها المنحنى 'الكوع' - أي حيث يبدأ الانحدار في الانخفاض بشكل أقل حدة.
الخطوة 3: تحديد K الأمثل باستخدام طريقة المرفق. الحاسبة تُطبّع المنحنى إلى المربع [0,1]×[0,1] ثم تختُر K الذي بُعد النقطة (x_k, y_k) عن الوتر الواصل بين (0,1) و (1,0) هو الأكبر، أي d_k = (1 - x_k) - y_k مع x_k = (k-1)/(K-1) و y_k = (I_k - I_min)/(I_max - I_min). هذه هي قاعدة Kneedle القابلة للحساب يدويًا، وهي أدق من 'أكبر فرق في الانخفاضات المتتالية' التي تجيب دائمًا بـ k=2 على المنحنيات المحدبة. لا يوجد معيار وحيد صحيح، لذا تُوصي الخطوة 4 بمقارنة النتيجة بمعامل الصورة الظلية.
الخطوة 4: التحقق من صحة الاختيار. بعد اختيار K الأولي باستخدام طريقة المرفق، قد تحتاج إلى تقييم جودة التجميع باستخدام مقاييس أخرى مثل معامل الصورة الظلية (Silhouette Score) أو مؤشر ديفيز-بولدين (Davies-Bouldin index) للتأكد من أن K المختار ينتج مجموعات متماسكة ومتباعدة جيداً.
الخطوة 5: تطبيق K-mean مع K المختار. بمجرد تحديد عدد المجموعات الأمثل، قم بتشغيل خوارزمية K-means مرة أخرى باستخدام هذا K للحصول على التجميع النهائي. تأكد من تثبيت البذرة العشوائية للحصول على نتائج قابلة للتكرار.
أمثلة محلولة
تطبيقات عملية على طريقة المرفق لـ K-means بخطوات الحل كاملة.
الحل
نُدخل القيم في الحاسبة. بعد التطبيع بـ I_min = 800 و I_max = 5000 يكون y = 1, 0.52381, 0.30952, 0.16667, 0.09524, ... و x = 0, 0.1111, 0.2222, 0.3333, ... فالمسافات عن الوتر (1 - x - y) هي: 0، 0.36508، 0.46825، 0.50000، 0.46032، ... وأكبرها 0.5 عند k=4. إذن المرفق عند K=4 كما يظهر بالعين المجردة، لأن التناقص الحاد (5000 إلى 1500) يستوي بعدها (300 ثم 150 ثم 100). العدد الأمثل للمجموعات هو 4. وهذا يطابق الاستنتاج البصري للنص الأصلي، بينما قاعدة 'أكبر فرق في الانخفاضات' كانت ستجيب k=2 لأن أكبر فرق (2000 إلى 900) يقع في البداية حتمًا على منحنٍ محدب.
الحل
أدخل القيم في الحاسبة. نرسم المنحنى: انخفاض حاد من K=1 إلى K=3 (1000->600)، ثم انخفاض معتدل من K=3 إلى K=5 (600->420)، ثم يبدأ بالاستواء بعد K=6 (390، 370، ...). منحنيات المرفق هنا غير حادة، لكن أقصى انحناء بحسب قاعدة المسافة عن الوتر هو عند k=4. بالتحليل: الفروق بين القيم المتتالية: 250، 150، 120، 60، 30، 20، 15، 10، 5. أكبر مسافة عن الوتر (0.454545) تقع عند k=4، لأن الفرق ينقص من 120 إلى 60 عندها، ثم تبقى الانخفاضات الأحدث أصغر من أن تُغيّر المقياس. لذا نقطة المرفق هي عند k=4. هذا يعني أن تقسيم العملاء إلى 4 شرائح هو الأمثل، حيث أن إضافة مجموعة سادسة لا تحسن كثيراً.
أمثلة محسوبة
قيم مُدخَلة ونتيجة محسوبة فعليًا بواسطة طريقة المرفق لـ K-means.
منحنى القصور الذاتي بعشر نقط: المرفق عند k=4 بمسافة 0.5 عن الوتر
- قيم القصور الذاتي (مفصولة بفواصل لـ k=1..K)
- 5000, 3000, 2100, 1500, 1200, 1050, 950, 880, 830, 800
منحنى ثلاثي النقط: المرفق في الوسط k=2 بمسافة 0.357143
- قيم القصور الذاتي (مفصولة بفواصل لـ k=1..K)
- 4, 1, 0.5