خطوات الاستخدام
أدخل قيم eigenvalues لجميع المكونات الرئيسية الناتجة من تحليل PCA. هذه القيم تمثل مقدار التباين الذي تشرحه كل مكونة رئيسية. يجب إدخالها كقائمة مفصولة بفواصل، مثل: 3.2, 1.8, 0.9, 0.1. كلما كانت القيمة أكبر، زادت أهمية المكونة في تفسير بياناتك الأصلية.
حدد عدد المكونات الرئيسية التي تريد حساب التباين المفسر لها. هذا الرقم (numComponents) يجب أن يكون أقل من أو يساوي عدد eigenvalues المدخلة. على سبيل المثال، إذا كان لديك 4 قيم eigenvalues واخترت numComponents=2، فسيتم حساب التباين المفسر بواسطة أول مكونتين.
احسب مجموع كل eigenvalues (المجموع الكلي للتباين). هذا يمثل التباين الكلي في البيانات الأصلية. رياضياً: total_variance = sum(eigenvalues). مثلاً إذا كانت eigenvalues [3.2, 1.8, 0.9, 0.1] فإن total_variance = 3.2 + 1.8 + 0.9 + 0.1 = 6.0.
احسب مجموع eigenvalues لأول numComponents مكونة (التباين المفسر). هذا هو مجموع القيم التي تقع في أول numComponents في القائمة بعد فرزها تنازليًا كما يُخرجها PCA، فلا يتغير الناتج بترتيب نسخك للقيم. مثلاً إذا numComponents=2، فإن explained_variance = 3.2 + 1.8 = 5.0.
اقسم التباين المفسر على التباين الكلي واضرب في 100 للحصول على النسبة المئوية. المعادلة: explained_variance_percentage = (explained_variance / total_variance) * 100. في المثال: (5.0 / 6.0) * 100 = 83.33%. هذه النسبة تخبرك كم من تباين البيانات الأصلي تشرحه المكونات المختارة.
أمثلة محلولة
تطبيقات عملية على التباين المفسر في PCA بخطوات الحل كاملة.
الحل
لحساب التباين المفسر، نتبع الخطوات التالية: أولاً، نحسب مجموع كل eigenvalues: 3.2 + 1.8 + 0.9 + 0.1 = 6.0. ثانياً، نحدد المكونات المطلوبة، وهي أول مكونتين، لذا نجمع قيمهما: 3.2 + 1.8 = 5.0. ثالثاً، نقسم التباين المفسر على التباين الكلي: 5.0 / 6.0 = 0.8333. أخيراً، نضرب في 100 لنحصل على النسبة المئوية: 0.8333 × 100 = 83.33%. إذن، أول مكونتين تفسران 83.33% من التباين الكلي في البيانات. هذا يعني أن معظم التباين في البيانات الأصلية يمكن تمثيله بهاتين المكونتين فقط، مما يسمح بتقليل الأبعاد بشكل فعال مع الاحتفاظ بمعظم المعلومات. في التطبيقات العملية، غالباً ما نختار عدد المكونات التي تشرح على الأقل 80-90% من التباين.
الحل
نحسب أولاً المجموع الكلي لجميع eigenvalues: 10 + 5 + 3 + 2 + 1 = 21. ثم نجمع أول ثلاث قيم (المكونات الثلاث الأولى): 10 + 5 + 3 = 18. نقسم: 18 / 21 = 0.8571. نضرب في 100: 0.8571 × 100 = 85.71%. إذن، المكونات الثلاث الأولى تفسر 85.71% من التباين الكلي. هذا مثال شائع في تحليل البيانات حيث نختار عدداً من المكونات لتحقيق توازن بين تقليل الأبعاد والحفاظ على التباين. لاحظ أنه إذا زدنا عدد المكونات إلى 4، فإن التباين المفسر سيصبح (10+5+3+2)=20، أي 95.24%، لكن هذا قد لا يكون ضرورياً إذا كنا نهدف إلى تقليل الأبعاد بشكل كبير.
أمثلة محسوبة
قيم مُدخَلة ونتيجة محسوبة فعليًا بواسطة التباين المفسر في PCA.
مثال 1: [3.2,1.8,0.9,0.1] ومكونتان = 83.333333%
- القيم الذاتية (مفصولة بفواصل)
- 3.2, 1.8, 0.9, 0.1
- عدد المكونات
- 2
مثال 2: [10,5,3,2,1] وثلاث مكونات = 85.714286%
- القيم الذاتية (مفصولة بفواصل)
- 10, 5, 3, 2, 1
- عدد المكونات
- 3
قيم متساوية: مكون واحد من ثلاثة = 33.333333%
- القيم الذاتية (مفصولة بفواصل)
- 3,3,3
- عدد المكونات
- 1
كل المكونات: 100% بلا تجاوز
- القيم الذاتية (مفصولة بفواصل)
- 10, 5, 3, 2, 1
- عدد المكونات
- 5