فترة ثقة للمتوسط (σ معروف)

المعطيات: متوسط العينة (x̄) = 105، الانحراف المعياري للسكان (σ) = 15، حجم العينة (n) = 100، مستوى الثقة = 95%. أولاً، نحتاج إلى قيمة z الحرجة لفترة ثقة 95%. من التوزيع الطبيعي المعياري، قيمة z التي تترك 2.5% في كل ذيل هي تقريباً 1.96. ثم نحسب هامش الخطأ (E): E = z * (σ / √n) = 1.96 * (15 / √100) = 1.96 * (15 / 10) = 1.96 * 1.5 = 2.94. بالتالي، فترة الثقة هي (x̄ - E, x̄ + E) = (105 - 2.94, 105 + 2.94) = (102.06, 107.94). التفسير: نحن واثقون بنسبة 95% أن متوسط الذكاء الحقيقي للسكان يقع بين 102.06 و107.94. هذا يعني أنه إذا تكررت عملية أخذ العينات عدة مرات، فإن حوالي 95% من الفترات ستحتوي على المتوسط الحقيقي.

المعطيات: x̄ = 1200 ساعة، σ = 50 ساعة، n = 64، مستوى الثقة = 99%. قيمة z الحرجة لمستوى ثقة 99% هي 2.576 (لأننا نحتاج 0.5% في كل ذيل). نحسب هامش الخطأ: E = 2.576 * (50 / √64) = 2.576 * (50 / 8) = 2.576 * 6.25 = 16.1. بالتالي، فترة الثقة هي (1200 - 16.1, 1200 + 16.1) = (1183.9, 1216.1). التفسير: نحن واثقون بنسبة 99% أن متوسط عمر اللمبات الحقيقي يقع بين 1183.9 و1216.1 ساعة. الفترة الأوسع مقارنة بفترة ثقة 95% تعكس مستوى الثقة الأعلى الذي يتطلب هامش خطأ أكبر.