القطوع المخروطية

خطوات الاستخدام

الخطوة الأولى: فهم المعادلة العامة للقطوع المخروطية. المعادلة هي: Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0. حيث A, B, C, D, E, F معاملات حقيقية. يحدد المعاملان A و C نوع القطع (إذا كانا متساويين وغير صفريين قد يكون دائرة، وإذا كانا مختلفي الإشارة قد يكون قطعاً زائداً، وهكذا). المعامل B يحدد ما إذا كان القطع مدوراً (إذا كان B ≠ 0 فإن القطع يكون مائلاً). اما D, E, F فهي معاملات الخطية والثابت التي تحدد موقع القطع في المستوى.

الخطوة الثانية: حساب المميز Δ (دلتا) للمعادلة. المميز يحسب بالعلاقة: Δ = B² - 4AC. هذا المميز هو المفتاح الرئيسي لتصنيف القطع المخروطي. إذا كان Δ < 0، فالقطع ناقص (ellipse) (أو دائرة إذا كان A = C و B = 0). إذا كان Δ = 0، فالقطع مكافئ (parabola). إذا كان Δ > 0، فالقطع زائد (hyperbola). يجب الانتباه: هذه القاعدة تفترض أن المعادلة تمثل قطعاً مخروطياً غير متدهور (non-degenerate). فحص التدهور يحتاج خطوة إضافية.

الخطوة الثالثة: التحقق من حالة التدهور. قد تكون المعادلة تمثل قطعاً متدهوراً (نقطة، خط مستقيم، خطان متقاطعان، أو لا شيء). لحساب ذلك، نحتاج إلى المحدد الرئيسي (determinant) للمصفوفة الممثلة للمعادلة. ولكن في هذه الحاسبة البسيطة، نعتمد على المميز Δ لتحديد النوع الأساسي. إذا كانت المعادلة لا تمثل شكلاً حقيقياً (مثلاً: x² + y² = -1) سنحصل على قطع وهمي. يتم التنبيه للمستخدم إذا كانت المعادلة لا تمثل قطعاً حقيقياً.

الأسئلة الشائعة

المميز Δ = B² - 4AC هو الة حسابية مستمدة من النظرية الجبرية للقطوع المخروطية. عند كتابة المعادلة العامة Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0، فإن إشارة Δ تحدد نوع القطع بشكل أساسي، بشرط أن المعادلة تمثل قطعاً حقيقياً غير متدهور. التصنيف: إذا كان Δ < 0، القطع ناقص (إهليلج) بما في ذلك الدائرة (حالة خاصة حيث A=C و B=0). إذا كان Δ = 0، القطع مكافئ. إذا كان Δ > 0، القطع زائد. هذا التصنيف يأتي من تحليل معادلة درجة ثانية في متغيرين. إذا كان هناك حد xy (B≠0)، فإن القطع يكون مائلاً. يمكن تفسير المميز على أنه مقياس للتباين بين الانحناءات في الاتجاهين الرئيسيين. في حالة القطع الناقص، الانحناءات من نفس الإشارة (كلاهما موجب أو سالب)، في القطع المكافئ، أحد الانحناءات صفر، وفي القطع الزائد، الانحناءات متعاكسة. لكن يجب الحذر: المميز وحده لا يكفي للتمييز بين القطع المتدهورة (مثل نقطة أو خطين). لذلك، الحاسبة قد تستخدم أيضاً مميز المصفوفة الممتدة (determinant of the full matrix) لتأكيد أن القطع غير متدهور. عملياً، إذا كان المميز Δ سالباً ولكن A=0 و C=0 و B=0 مثلاً، فقد تكون المعادلة تمثل خطوطاً. لذا، الفهم العميق يتطلب مراجعة نظرية المصفوفات الرباعية (quadratic forms).

لتحديد ما إذا كان القطع المخروطي دائرة أم قطعاً ناقصاً، تعتمد الحاسبة على شرطين رئيسيين: أولاً، يجب أن يكون المميز Δ = B² - 4AC سالباً (Δ < 0) لأن الدائرة والقطع الناقص كلاهما من نوع القطع الناقص. ثانياً، للتمييز بينهما، ننظر إلى المعاملين A و C والحد B: الدائرة تتحقق إذا وفقط إذا كان A = C (أي معاملا x² و y² متساويان) و B = 0 (أي عدم وجود حد xy). إذا كان A ≠ C أو B ≠ 0، فهو قطع ناقص (إهليلج) وليس دائرة. على سبيل المثال: x² + y² = 1 هي دائرة (A=1, C=1, B=0). أما 4x² + 9y² = 36 فهو قطع ناقص (A=4, C=9, B=0). في حالة وجود B≠0، حتى لو كان A=C، فسيكون القطع الناقص مائلاً وليس دائرة. مثال: x² + xy + y² = 1 هو قطع ناقص مائل (وليس دائرة). إذا كانت الدائرة، فإن المعادلة يمكن إعادة كتابتها على الصورة (x-h)² + (y-k)² = r² حيث يكون مركز القطع ونصف القطر واضحين. الحاسبة قد لا تقوم بحساب المركز ونصف القطر تلقائياً، لكنها ستحدد النوع بدقة. تجدر الإشارة إلى أنه في حالة Δ < 0 و A=C و B=0، فإن المعادلة تمثل دائرة (إذا كانت F مناسبة)، وإلا (إذا كان F ينتج نصف قطر سالب) قد تكون دائرة وهمية (لا تمثل شكلاً حقيقياً) والتي تعتبر أيضاً قطعاً ناقصاً وهمياً. الحاسبة ستعلم المستخدم إذا لم يكن هناك قطع حقيقي.

إذا احتوت المعادلة العامة للقطع المخروطي على حد xy (أي B ≠ 0)، فإن القطع يكون مائلاً بزاوية θ بالنسبة للمحاور الأصلية. بمعنى آخر، محاور القطع (محاور التماثل) ليست موازية لمحوري x و y. زاوية الميل θ تحسب من العلاقة: cot(2θ) = (A - C) / B، حيث θ محصورة بين 0 و 180 درجة. هذه العلاقة تأتي من تحويل الإحداثيات عن طريق التدوير: نقوم بتدوير المحاور بزاوية θ للتخلص من الحد xy. الصيغة الجديدة بعد التدوير تصبح: A' x'² + C' y'² + D' x' + E' y' + F' = 0 (حيث B' = 0). الزاوية المحسوبة تمثل الاتجاه الذي يجب أن تدور به المحاور لمحاذاة محاور القطع. تجدر الإشارة إلى أن العلاقة تعطي قيماً متعددة لأن دالة cot دورية، ولكن θ محددة في النطاق (0°, 180°) باستثناء بعض الحالات الخاصة (مثلًا عندما A=C، تكون cot(2θ)=0 أي 2θ=90° أو 270° أي θ=45° أو 135°؛ وعادة نأخذ أصغر زاوية موجبة). إذا كان B=0، لا يوجد ميل (θ=0). مثال على القطع المائل: القطع الناقص: x² + xy + y² = 1 له A=1, C=1, B=1, إذن cot(2θ)=0، وبالتالي 2θ=90° ⇒ θ=45°. هذا القطع الناقص مائل بزاوية 45°.

القطوع المخروطية المتدهورة هي حالات خاصة حيث تمثل المعادلة مجموعة من النقاط التي لا تشكل منحنى تقليدياً، بل قد تكون نقطة واحدة، أو خطاً مستقيماً، أو خطين متقاطعين، أو لا شيء (مجموعة فارغة). المثال الأكثر شيوعاً: x² + y² = 0 تمثل نقطة (0,0) فقط (وهذا يعتبر دائرة متدهورة). كذلك (x+y)² = 0 يمثل خطاً واحداً x+y=0. والمعادلة x² - y² = 0 تمثل خطين متقاطعين y = x و y = -x. هناك أيضاً الحالات التي لا تمثل شيئاً حقيقياً مثل x² + y² = -1. للكشف عن التدهور، نستخدم محدد المصفوفة الكاملة للمعادلة التربيعية والمصفوفة الممتدة. المصفوفة العامة هي: [A, B/2, D/2; B/2, C, E/2; D/2, E/2, F]. نحسب محدد هذه المصفوفة (دلتا الكبرى). المعادلة تمثل قطعاً حقيقياً غير متدهور إذا كان هذا المحدد ≠ 0 (للقطع الناقص والمكافئ والزائد). إذا كان المحدد = 0، فالقطع متدهور. مثلاً: x² + y² = 0، المعادلة: A=1, C=1, B=0, D=0, E=0, F=0. المحدد = 1*(1*0 - 0) - 0*(0*0 - 0) + 0*(0*0 - 0) = 0، فهو متدهور (نقطة). كذلك x² - y² = 0: A=1, C=-1, B=0, D=0, E=0, F=0 → المحدد = 0. أما x² + y² = 1: A=1, C=1, F=-1, المحدد = 1*(1*(-1) - 0) - 0 + 0 = -1 ≠ 0، فهو غير متدهور (دائرة). تعتمد الحاسبة على هذه النظرية لتحديد ما إذا كانت المعادلة تمثل قطعاً حقيقياً أم لا، وتخبر المستخدم إذا كان الأمر متدهوراً أو وهمياً.

القطوع المخروطية

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

أمثلة محلولة

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

حاسبات ذات صلة

1مثال 1: حدد نوع القطع المخروطي للمعادلة: 4x² - 4xy + y² - 6x + 2y - 5 = 0.

2مثال 2: صنف المعادلة: 9x² + 4y² - 36x + 8y + 4 = 0.

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة