الكسر المستمر

خطوات الاستخدام

أدخل القيمة التي ترغب في تحويلها إلى كسر مستمر. يمكن أن تكون القيمة عددًا صحيحًا، كسرًا عاديًا (مثل 19/7)، أو عددًا حقيقيًا (مثل √2). يستخدم الكسر المستمر لتمثيل الأعداد بطريقة تتكون من سلسلة من الأعداد الصحيحة، حيث يتم التعبير عن العدد على الشكل: a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + ...)). الهدف هو إيجاد المعاملات a0, a1, a2, ...

حدد العمق المطلوب. العمق هو عدد الحدود (المعاملات) التي تريد حسابها في الكسر المستمر. كلما زاد العمق، زادت الدقة، خاصة للأعداد غير النسبية مثل π أو √2. إذا كان العدد نسبيًا، الكسر المستمر سينتهي بعد عدد محدود من الحدود. العمق يحدد متى تتوقف الخوارزمية.

تقوم الخوارزمية بحساب الكسر المستمر كالتالي: ابدأ بـ x = القيمة المدخلة. أوجد الجزء الصحيح a0 = floor(x). ثم احسب الباقي: x1 = 1 / (x - a0). كرر العملية: a1 = floor(x1)، x2 = 1 / (x1 - a1)، وهكذا حتى تصل إلى العمق المطلوب أو يصبح الباقي صفرًا. يتم تمثيل النتيجة كقائمة من المعاملات [a0, a1, a2, ...].

الأسئلة الشائعة

الكسر المستمر هو تعبير رياضي على الشكل: a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + ...))، حيث a0 عدد صحيح وa1, a2, ... أعداد صحيحة موجبة. تكمن أهميته في قدرته على تمثيل الأعداد الحقيقية بطريقة بديهية ودقيقة. على عكس التمثيل العشري، لا يحتاج الكسر المستمر إلى أساس معين (مثل العشرية) ويعطي تمثيلًا مثاليًا للأعداد النسبية (ينتهي) والأعداد غير النسبية (لا ينتهي لكنه دوري أحيانًا). التطبيقات: - في نظرية الأعداد: لإثبات أن √2 غير نسبي، وفي دراسة المعادلات الديوفانتية. - في التقريب: توفر الكسور المستمرة أفضل تقريب كسري لعدد حقيقي بالنسبة لحجم المقام (نظرية أقرب تقريب). على سبيل المثال، التقريب π ≈ 355/113 يأتي من الكسر المستمر لـ π. - في علم الحاسوب: لحساب الكسور المستمرة في الخوارزميات العددية، وفي ترميز الصور (مثل JPEG) أو معالجة الإشارات. - في علم الفلك: لتقريب النسب بين فترات مدارات الكواكب. - في الموسيقى: لتوليد السلالم الموسيقية المتناغمة. يمتاز الكسر المستمر بأنه يعطي تقريبًا ممتازًا بعدد قليل من الحدود، خاصة للأعداد المتجاوزة مثل π أو e.

لتقريب π باستخدام الكسر المستمر، نحتاج إلى حساب معاملاته. π ≈ 3.14159265. الخطوة 0: a0 = floor(π) = 3، الباقي r0 = π-3 ≈ 0.14159265، x1 = 1/r0 ≈ 7.0625133. الخطوة 1: a1 = floor(7.0625) = 7، الباقي r1 ≈ 0.0625133، x2 = 1/r1 ≈ 15.9966. الخطوة 2: a2 = 15 (لأن floor(15.9966)=15)، الباقي r2 ≈ 0.9966، x3 ≈ 1.0034. الخطوة 3: a3 = 1، الباقي r3 ≈ 0.0034، x4 ≈ 292.6. الخطوة 4: a4 = 292، الباقي r4 ≈ 0.6، x5 ≈ 1.667. الخطوة 5: a5 = 1، وهكذا. إذن الكسر المستمر لـ π يبدأ بـ [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...]. التقريبات المتتالية: - الأول: 3 - الثاني: 3 + 1/7 = 22/7 ≈ 3.142857 (تقريب أرخميدس) - الثالث: 3 + 1/(7+1/15) = 3 + 1/(106/15) = 3 + 15/106 = 333/106 ≈ 3.141509 - الرابع: 3 + 1/(7+1/(15+1/1)) = ... = 355/113 ≈ 3.1415929 (تقريب مشهور دقيق جدًا) - الخامس: ... = 103993/33102 ≈ 3.141592653 نلاحظ أن التقريب الرابع (355/113) دقيق حتى 6 خانات عشرية، وهو أفضل بكثير من التقريب الثالث. الفضل يعود للحد الكبير (292) الذي يجعل التقريب التالي دقيقًا جدًا. يمكنك استخدام هذا التقريب في الحسابات الهندسية عند الحاجة لدقة عالية دون تعقيد.

الكسر المستمر المنتهي هو الذي يحتوي على عدد محدود من المعاملات (مثل [2; 1, 2, 2] لـ 19/7). هذا يحدث فقط عندما يكون العدد نسبيًا (أي يمكن كتابته ككسر عادي). بينما الكسر المستمر اللامنتهي له عدد لا نهائي من الحدود، ويحدث للأعداد غير النسبية (مثل √2, π, e). لماذا؟ لأن الخوارزمية التي تولد الكسر المستمر تعتمد على الباقي: إذا وصل الباقي إلى الصفر، يتوقف التكرار. الباقي صفر يعني أن العدد نسبي. أما بالنسبة للأعداد غير النسبية، فلا يصبح الباقي صفرًا أبدًا، وتستمر العملية إلى ما لا نهاية. من المثير للاهتمام أن الكسور المستمرة للأعداد غير النسبية يمكن أن تكون دورية (مثل √2 = [1; 2,2,2,...])، مما يعكس بنية جبرية خاصة. على سبيل المثال، جميع الأعداد غير النسبية من الشكل √n (حيث n ليس مربعًا كاملًا) لها كسور مستمرة دورية. بينما الأعداد المتجاوزة مثل π و e لها كسور مستمرة غير دورية، على الرغم من أن e له نمط واضح: e = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,...]. تطبيقيًا، الكسور المستمرة اللامنتهية تعطينا تقريبًا جيدًا أكثر من الكسور العشرية لأنها تستخدم عددًا أقل من الأرقام للتعبير عن العدد بدقة.

المقاربات هي تقريبات كسرية للعدد الأصلي يتم الحصول عليها بأخذ أول k حد من الكسر المستمر. بمعنى آخر، إذا كان لدينا الكسر المستمر [a0; a1, a2, ..., an] (منتهٍ أو لا نهائي)، فإن المقارب من الرتبة k هو الكسر الذي يمثله [a0; a1, ..., ak] حيث k ≤ n. يمكن حساب هذه المقاربات باستخدام علاقات تكرارية بسيطة. لتكن p_k هو بسط المقارب k، و q_k مقامه. نعرف: - p_{-2} = 0, p_{-1} = 1 - q_{-2} = 1, q_{-1} = 0 ثم لكل k ≥ 0: p_k = a_k * p_{k-1} + p_{k-2} q_k = a_k * q_{k-1} + q_{k-2} على سبيل المثال، بالنسبة للكسر المستمر لـ √2 = [1; 2, 2, 2, ...]: - k=0: a0=1, p0 = 1*1 + 0 = 1, q0 = 1*0 + 1 = 1 → 1/1 - k=1: a1=2, p1 = 2*1 + 1 = 3, q1 = 2*1 + 0 = 2 → 3/2 - k=2: a2=2, p2 = 2*3 + 1 = 7, q2 = 2*2 + 1 = 5 → 7/5 - k=3: a3=2, p3 = 2*7 + 3 = 17, q3 = 2*5 + 2 = 12 → 17/12 - وهكذا. هذه المقاربات هي أفضل تقريب كسري للعدد الأصلي من بين جميع الكسور التي تقل مقاماتها عن q_k. كما أنها تتقارب مع العدد الأصلي بسرعة، خاصة عندما يظهر معامل كبير في الكسر المستمر.

الكسر المستمر

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

أمثلة محلولة

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

حاسبات ذات صلة

1احسب الكسر المستمر للعدد النسبي 19/7 حتى العمق 5.

2احسب الكسر المستمر للعدد غير النسبي √2 حتى العمق 6.

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة