مشتقة الدالة الأسيّة

خطوات الاستخدام

أدخل قيمة x التي تريد حساب مشتقة الدالة e^x عندها. هذا هو المتغير المستقل في الدالة الأسية.

افهم أن مشتقة الدالة e^x تساوي e^x نفسها. هذه خاصية فريدة للعدد e (الأس الطبيعي). رياضياً: d/dx(e^x) = e^x.

إذا كانت الدالة على الصورة e^(u) حيث u دالة في x، استخدم قاعدة السلسلة: d/dx(e^u) = e^u * u'. على سبيل المثال، إذا كانت الدالة e^(2x)، فالمشتقة هي e^(2x) * 2.

قم بتطبيق القاعدة: في حالتنا هذه، الدالة هي e^x، لذا u = x و u' = 1. وبالتالي المشتقة هي e^x.

الأسئلة الشائعة

يرجع ذلك إلى تعريف العدد e. العدد e هو الأساس الذي يجعل الدالة الأسية f(x)=e^x مساوية لمشتقتها. من الناحية النظرية، يمكن إثبات ذلك باستخدام تعريف المشتقة: f'(x) = lim(h→0) [e^(x+h) - e^x]/h = e^x * lim(h→0) (e^h - 1)/h = e^x * 1 = e^x. النهاية lim(h→0) (e^h - 1)/h تساوي 1 لأن هذه هي الخاصية التي تحدد العدد e. هذه الخاصية تجعل الدالة e^x فريدة في التحليل الرياضي وتستخدم في العديد من التطبيقات مثل النمو السكاني والتحلل الإشعاعي والفائدة المركبة.

مشتقة الدالة الأسية العامة a^x (حيث a > 0 و a ≠ 1) تعطى بالصيغة: d/dx(a^x) = a^x * ln(a). بينما مشتقة e^x هي e^x فقط لأن ln(e) = 1. لذا فإن مشتقة e^x أبسط. هذا يعني أن الدالة e^x هي الحالة الخاصة الوحيدة التي تكون فيها المشتقة مساوية للدالة الأصلية. في التطبيقات العملية، نستخدم غالباً e^x لأنها تبسط الحسابات في المعادلات التفاضلية والنمذجة الرياضية.

عندما تكون الدالة على الصورة e^(kx) حيث k ثابت، نطبق قاعدة السلسلة: d/dx(e^(kx)) = e^(kx) * d/dx(kx) = e^(kx) * k = k e^(kx). مثلاً، مشتقة e^(5x) هي 5e^(5x). إذا كانت الدالة e^(x^2)، فالمشتقة هي e^(x^2) * 2x = 2x e^(x^2). هذا المبدأ مهم في حل المعادلات التفاضلية وفي الفيزياء عندما نمثل التغيرات الأسية مع الزمن.

لمشتقات الدوال الأسية تطبيقات واسعة في العلوم والهندسة والاقتصاد. على سبيل المثال، في علم الأحياء، يستخدم نموذج النمو الأسي N(t) = N0 e^(rt) لحساب حجم السكان، حيث المشتقة dN/dt = rN تمثل معدل النمو اللحظي. في الفيزياء، يستخدم قانون التحلل الإشعاعي N(t) = N0 e^(-λt)، والمشتقة تمثل نشاط المادة المشعة. في الاقتصاد، الفائدة المركبة المستمرة تعطى بالصيغة A = P e^(rt)، والمشتقة تمثل معدل التغير في قيمة الاستثمار. كما تستخدم في حساب المماسات لمنحنيات النمو وفي حل المعادلات التفاضلية التي تصف الظواهر الطبيعية.

مشتقة الدالة الأسيّة

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

أمثلة محلولة

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

حاسبات ذات صلة

1احسب مشتقة الدالة e^x عند x = 2.

2احسب مشتقة الدالة e^(3x) عند x = 1.

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة