مشتقة اللوغاريتم

خطوات الاستخدام

أدخل قيمة x موجبة وأكبر من الصفر، لأن دالة اللوغاريتم الطبيعي معرفة فقط للأعداد الموجبة (x > 0). إذا أدخلت قيمة سالبة أو صفرًا، سيعطي الحاسبة خطأ.

بمجرد إدخال x، تقوم الحاسبة بحساب المشتقة باستخدام القانون الأساسي: d/dx (ln x) = 1/x. يتم تطبيق هذا القانون مباشرة على قيمة x المدخلة.

تأكد من فهم أن الناتج هو معدل التغير اللحظي للدالة عند النقطة x. على سبيل المثال، عند x = 2، يكون الميل 0.5، مما يعني أن الدالة تتزايد ببطء نسبيًا.

إذا كانت x دالة في متغير آخر (مثل ln(u(x)))، فيجب استخدام قاعدة السلسلة: d/dx ln(u) = u'/u. هذه الحاسبة تتعامل فقط مع الحالة البسيطة حيث المتغير هو x نفسه.

الأسئلة الشائعة

لإثبات ذلك، نستخدم تعريف المشتقة: d/dx ln(x) = lim h→0 [ln(x+h) - ln(x)] / h = lim h→0 ln((x+h)/x) / h = lim h→0 (1/h) ln(1 + h/x). نضع u = h/x، فتصبح h = ux، وعندما h→0، u→0. يصبح النهاية: lim u→0 (1/(ux)) ln(1+u) = (1/x) lim u→0 (1/u) ln(1+u). النهاية lim u→0 (1/u) ln(1+u) = 1 (وهي نهاية أساسية مشتقة من تعريف العدد e). إذن المشتقة = 1/x. يمكن أيضًا استخدام نظرية الدالة العكسية: بما أن y = ln(x) هي معكوس الدالة الأسية x = e^y، فإن dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/e^y = 1/x. هذا يوضح العلاقة الجميلة بين اللوغاريتم والأساس e.

عندما x → 0+، فإن المشتقة 1/x → +∞. هذا يعني أن منحنى ln(x) يصبح عموديًا تقريبًا عند الاقتراب من الصفر. من الناحية الهندسية، ميل المماس يزداد بشكل غير محدود، مما يعكس أن الدالة تتناقص بسرعة كبيرة نحو -∞. في الواقع، ln(x) → -∞ عندما x → 0+، ولكن المشتقة موجبة لأن الدالة متزايدة في كل نقاط تعريفها. هذا تناقض ظاهري: كيف تكون الدالة متناقصة (تذهب إلى -∞) ولكن مشتقتها موجبة؟ الإجابة: الدالة متزايدة، ولكن قيمها تذهب إلى -∞ بسبب أن النهاية عند الصفر هي -∞، ولكن مع زيادة x من 0+ إلى 1، تزداد قيم ln(x) من -∞ إلى 0. لذا فهي متزايدة بالفعل.

لتطبيق قاعدة السلسلة، نكتب الدالة المركبة كـ ln(u(x)). مشتقتها = u'(x) / u(x). مثال: ln(ax) حيث a ثابت، u(x) = ax, u'(x) = a، فالمشتقة = a/(ax) = 1/x. لاحظ أن النتيجة مستقلة عن a! مثال آخر: ln(x^2) حيث u(x) = x^2, u'(x) = 2x، فالمشتقة = 2x / x^2 = 2/x. يمكن أيضًا تبسيط ln(x^2) = 2 ln(x) ومشتقتها = 2 * (1/x) = 2/x. هذا يوضح فائدة خصائص اللوغاريتم في التبسيط قبل الاشتقاق.

الدالة الأصلية ln(x) معرفة فقط لـ x > 0، وبالتالي مشتقتها 1/x معرفة أيضًا فقط لـ x > 0. عند x = 0، الدالة غير معرفة، لذا لا توجد مشتقة. بالنسبة للقيم السالبة، ln(x) غير معرفة في الأعداد الحقيقية (لأن اللوغاريتم الطبيعي لعدد سالب هو عدد مركب). لذلك مجال الدالة ومشتقتها هو (0, ∞). لاحظ أن الدالة f(x) = 1/x معرفة لجميع x ≠ 0، ولكن مشتقة ln(x) لا تشمل x < 0 لأن الدالة الأصلية غير معرفة هناك. من المهم التمييز بين مجال الدالة المشتقة (وهو نفس مجال الدالة الأصلية) ومجال دالة 1/x كدالة مستقلة.

مشتقة اللوغاريتم

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

أمثلة محلولة

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

حاسبات ذات صلة

1أوجد مشتقة الدالة ln(x) عند النقطة x = 3.

2احسب مشتقة ln(x) عند x = 0.25.

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة