قاعدة القوة

خطوات الاستخدام

الخطوة 1: أدخل القيم الرقمية أو المعاملات الرياضية المطلوبة للمعادلة في الحقول المناسبة.

الخطوة 2: تأكد من دقة الوحدات والرموز الرياضية المدخلة قبل إجراء الحساب.

الخطوة 3: اضغط على زر الحساب لتطبيق المعادلات الجبرية أو الهندسية أو الإحصائية فورياً.

الخطوة 4: راجع خطوات الحل التفصيلية الموضحة لمعرفة كيفية تبسيط وتطبيق القوانين الرياضية خطوة بخطوة.

أمثلة محلولة

تطبيقات عملية على قاعدة القوة بخطوات الحل كاملة.

الحل
نطبق قاعدة القوة: مشتقة x^5 هي 5x^4. نعوض x=2: f'(2)=5*(2)^4 = 5*16 = 80. إذن المشتقة عند x=2 تساوي 80. المعنى الهندسي: ميل المماس لمنحنى الدالة f(x)=x^5 عند النقطة (2, 32) هو 80. أي أن معدل تغير الدالة عند هذه النقطة هو 80 وحدة لكل وحدة تغير في x. في الفيزياء، إذا كانت f(x) تمثل المسافة، فالسرعة اللحظية عند الزمن 2 هي 80 م/ث.

الأسئلة الشائعة

قاعدة القوة هي إحدى القواعد الأساسية في حساب التفاضل، وتنص على أن مشتقة الدالة f(x)=x^n (حيث n عدد حقيقي) تعطى بالعلاقة f'(x)=n x^{n-1}. تم اشتقاق هذه القاعدة باستخدام تعريف المشتقة كحد: f'(x)=lim_{h→0} ( (x+h)^n - x^n )/h. باستخدام نظرية ذات الحدين لتوسيع (x+h)^n، نجد أن الحد الأول في البسط هو n x^{n-1} h بالإضافة إلى حدود تحتوي على h^2 وما فوق. عند قسمة الكل على h وأخذ النهاية عندما h→0، تبقى فقط n x^{n-1}. تنطبق القاعدة على جميع الأعداد الحقيقية n، بما في ذلك الأعداد السالبة والكسور، مع بعض الاستثناءات عند n=0 (المشتقة تكون صفر). وتعتبر قاعدة القوة أساسًا لتفاضل العديد من الدوال الجبرية وتستخدم في الفيزياء والاقتصاد لحساب معدلات التغير.

نعم، تنطبق قاعدة القوة على جميع الأعداد الحقيقية n، بما في ذلك السالبة والكسور. على سبيل المثال، إذا n=-3، فإن الدالة هي f(x)=x^{-3}=1/x^3، ومشتقتها f'(x)=(-3)x^{-4} = -3/x^4. إذا n=1/2، فإن الدالة f(x)=√x، ومشتقتها f'(x)=(1/2)x^{-1/2}=1/(2√x). إذا n=0، فإن f(x)=1 (ثابت)، ومشتقتها 0، وهذا يتوافق مع القاعدة (0*x^{-1}=0) مع ملاحظة أن x^{-1} غير معرف عند x=0. من المهم تذكر أن الأس الجديد هو n-1، لذا إذا كان n كسرًا، يبقى الناتج كسرًا أو جذرًا. تطبق القاعدة بشرط أن يكون الأساس x موجبًا عندما يكون n كسرًا لتجنب الأعداد التخيلية.

لتفاضل دالة مثل 1/x، نكتبها أولاً بصورة أسية: 1/x = x^{-1}. ثم نطبق قاعدة القوة: المشتقة = -1 * x^{-2} = -1/x^2. أما الجذر التربيعي √x، فهو x^{1/2}، ومشتقته (1/2)x^{-1/2} = 1/(2√x). دوال مثل 1/√x = x^{-1/2} مشتقتها (-1/2)x^{-3/2} = -1/(2x√x). هذه التحويلات تسمح بتطبيق قاعدة القوة بسهولة. كما يمكن تطبيق القاعدة على دوال أكثر تعقيدًا مثل x^{π}، حيث المشتقة π x^{π-1}.

في الفيزياء، تستخدم قاعدة القوة لحساب السرعة اللحظية من دالة المسافة. فإذا كانت d(t)=t^n تمثل المسافة بدلالة الزمن، فالسرعة v(t)=n t^{n-1}. كما تستخدم في حساب التسارع بتفاضل السرعة. في الاقتصاد، تستخدم لحساب التكلفة الحدية والإيراد الحدي. إذا كانت دالة التكلفة C(q)=a q^n (حيث q الكمية)، فالتكلفة الحدية MC=dC/dq = a n q^{n-1}. كذلك في نظرية المرونة، حيث مرونة الطلب تساوي (dQ/dP)*(P/Q) وتشتق دوال الطلب التي غالبًا ما تكون أسية. كما تظهر قاعدة القوة في حسابات النمو السكاني والاضمحلال الإشعاعي عندما تكون الدوال على شكل قوى. باختصار، أي مجال يتضمن دوالاً أسية يستخدم قاعدة القوة.

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

1احسب مشتقة الدالة f(x)=x^5 عند x=2 باستخدام قاعدة القوة، واشرح المعنى الهندسي للناتج.

2احسب مشتقة الدالة f(x)=x^{3/2} عند x=4، ثم اكتب الناتج في صورة جذرية وأوجد قيمة المشتقة بالتقريب.

حاسبات ذات صلة

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة