مشتقة الجيب

افهم تعريف المشتقة: مشتقة الدالة f(x) عند نقطة x تُعطى بالحد: f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h) - f(x)] / h. بتطبيق هذا على sin(x) نحصل على: sin'(x) = lim_{h→0} [sin(x+h) - sin(x)] / h. هذه هي البداية الرياضية لكل شيء.

استخدم المتطابقة المثلثية لجمع الجيب: sin(x+h) - sin(x) = 2 cos(x + h/2) sin(h/2). تعتمد هذه المتطابقة على تحويل الفرق إلى حاصل ضرب. بالتعويض في تعريف المشتقة نحصل على: sin'(x) = lim_{h→0} [2 cos(x + h/2) sin(h/2)] / h.

بسّط النهاية باستخدام الحدود الأساسية: أعد كتابة التعبير كـ sin'(x) = lim_{h→0} cos(x + h/2) * [sin(h/2) / (h/2)]. نعلم أن lim_{u→0} sin(u)/u = 1. هنا u = h/2، لذا عندما h→0، u→0. لذلك الحد الثاني يساوي 1. والحد الأول يصبح cos(x + 0) = cos x.