التوزيع الأسي

هذا مثال كلاسيكي للتوزيع الأسي في التحلل الإشعاعي. هنا، معامل المعدل λ = 2 جسيم لكل دقيقة. المتغير العشوائي X، الوقت بين الانبعاثات، يتبع توزيعًا أسيًا بدالة كثافة f(x) = 2e^{-2x} للقيم x ≥ 0 ودالة توزيع تراكمي F(x) = 1 - e^{-2x}.

أولاً، لإيجاد احتمال أن الوقت بين الانبعاثات يتجاوز 3 دقائق، نحتاج P(X > 3). باستخدام متممة دالة التوزيع التراكمي: P(X > x) = e^{-λx}. إذًا، P(X > 3) = e^{-2*3} = e^{-6} ≈ 0.002478. هذا احتمال صغير جدًا، مما يشير إلى أن انتظار أكثر من 3 دقائق أمر نادر نظرًا لمعدل الانبعاث العالي.

ثانيًا، كثافة الاحتمال عند الدقيقة 1 بالضبط تُعطى بتقييم دالة الكثافة عند x=1: f(1) = 2e^{-2*1} = 2e^{-2} ≈ 2 * 0.1353 = 0.2707. هذا الرقم ليس احتمالًا بل كثافة؛ يعني أن احتمال أن يقع الوقت في فترة صغيرة حول الدقيقة 1 يساوي تقريبًا 0.2707 مضروبًا في عرض تلك الفترة. على سبيل المثال، احتمال أن يكون الوقت بين 0.99 و1.01 دقيقة هو تقريبًا 0.2707 * 0.02 = 0.0054.

لتعميق الفهم، لاحظ أن التوزيع الأسي لا ذاكرة له: P(X > s+t | X > s) = P(X > t). على سبيل المثال، إذا لم ينبعث أي جسيم لمدة دقيقة واحدة، فإن احتمال انتظار 3 دقائق إضافية لا يزال e^{-2*3} = 0.002478، نفس الاحتمال غير المشروط. هذه الخاصية تجعل التوزيع الأسي فريدًا ومفيدًا في نظرية الموثوقية ونماذج الطوابير.

هنا، متوسط المعدل هو λ = 10 مكالمات في الساعة. لكن يجب توحيد وحدات الوقت. بما أن السؤال يستخدم الدقائق، حوّل λ إلى مكالمات في الدقيقة: λ = 10/60 = 1/6 ≈ 0.1667 مكالمة في الدقيقة. وقت الانتظار X (بالدقائق) بين المكالمات يتبع توزيعًا أسيًا بمعدل λ = 1/6.

أولاً، احتمال وصول المكالمة التالية خلال 5 دقائق يعني P(X ≤ 5). باستخدام دالة التوزيع التراكمي: F(5) = 1 - e^{-λ * 5} = 1 - e^{-(1/6)*5} = 1 - e^{-5/6} ≈ 1 - 0.4346 = 0.5654. إذًا، هناك فرصة 56.54% أن تصل المكالمة في الدقائق الخمس القادمة.

ثانيًا، الوسيط هو القيمة m حيث P(X ≤ m) = 0.5. حل المعادلة 1 - e^{-λ m} = 0.5 => e^{-λ m} = 0.5 => -λ m = ln(0.5) => m = -ln(0.5)/λ = ln(2)/λ. مع λ = 1/6، m = ln(2) / (1/6) = 6 ln(2) ≈ 6 * 0.6931 = 4.1586 دقيقة. لذا، نصف المكالمات تصل خلال حوالي 4.16 دقيقة. لاحظ أن متوسط وقت الانتظار هو 1/λ = 6 دقائق، وهو أكبر من الوسيط بسبب الانحراف الأيمن للتوزيع الأسي. هذا الانحراف هو سمة مميزة للعديد من عمليات وقت الانتظار.