توزيع F (فيشر)

نريد حساب دالة الكثافة لتوزيع F عند x=3.2، df1=4، df2=30. باستخدام الصيغة: f(x; d1, d2) = (1 / B(d1/2, d2/2)) * (d1/d2)^(d1/2) * x^(d1/2 - 1) * (1 + (d1/d2)*x)^(-(d1+d2)/2).

أولاً، نحسب دالة بيتا: B(d1/2, d2/2) = B(2, 15). يمكن التعبير عن دالة بيتا بدلالة دالة جاما: B(a,b) = Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b). هنا Γ(2)=1، Γ(15)=14!، وΓ(17)=16!. وبالتالي B(2,15) = (1 * 14!)/16! = 1/(15*16) = 1/240 ≈ 0.0041667.

ثانياً، نحسب (d1/d2)^(d1/2) = (4/30)^(2) = (0.13333)^2 = 0.0177778.

ثم x^(d1/2 - 1) = 3.2^(2-1) = 3.2^1 = 3.2.

الآن نحسب (1 + (d1/d2)*x)^(-(d1+d2)/2) = (1 + (4/30)*3.2)^(-(34)/2) = (1 + 0.13333*3.2)^(-17) = (1 + 0.42667)^(-17) = (1.42667)^(-17).

1.42667^(-17) = exp(-17 * ln(1.42667)) ≈ exp(-17 * 0.3550) = exp(-6.035) ≈ 0.0024.

الآن نضرب جميع الحدود: f = (1/0.0041667) * 0.0177778 * 3.2 * 0.0024 = (240) * 0.0177778 * 3.2 * 0.0024.

أولاً 240 * 0.0177778 = 4.26667. ثم 4.26667 * 3.2 = 13.6533. ثم 13.6533 * 0.0024 = 0.032768. إذن f ≈ 0.0328.

وبالتالي، فإن دالة الكثافة عند x=3.2 تساوي تقريباً 0.0328. هذا يعني أن الاحتمال النسبي لملاحظة قيمة F تساوي تماماً 3.2 هو حوالي 0.0328 لكل وحدة من x. عملياً، نستخدم هذه القيمة للمساعدة في حساب الاحتمالات، مثل احتمال أن يتجاوز إحصاء F قيمة 3.2 (القيمة الاحتمالية) والذي يمثل التكامل من 3.2 إلى ما لا نهاية. نظراً لأن قيمة دالة الكثافة صغيرة نسبياً، قد تكون القيمة الاحتمالية معتدلة (حوالي 0.03-0.05) لهذه الدرجات من الحرية.

نحسب دالة الكثافة لتوزيع F عند x=4.5، df1=2، df2=27. نستخدم نفس الصيغة: f(x; d1, d2) = (1/B(d1/2, d2/2)) * (d1/d2)^(d1/2) * x^(d1/2 - 1) * (1 + (d1/d2)*x)^(-(d1+d2)/2). هنا d1=2، d2=27.

أولاً، B(d1/2, d2/2) = B(1, 13.5). لاحظ أن B(1, b) = 1/b. لذا B(1, 13.5) = 1/13.5 = 0.074074.

ثانياً، (d1/d2)^(d1/2) = (2/27)^(1) = 0.074074.

x^(d1/2 - 1) = 4.5^(1-1) = 4.5^0 = 1.

الآن (1 + (d1/d2)*x)^(-(d1+d2)/2) = (1 + (2/27)*4.5)^(-(29)/2) = (1 + 0.074074*4.5)^(-14.5) = (1 + 0.33333)^(-14.5) = (1.33333)^(-14.5).

نحسب 1.33333^(-14.5) = exp(-14.5 * ln(1.33333)) = exp(-14.5 * 0.28768) = exp(-4.171) ≈ 0.0154.

الآن نضرب: f = (1/0.074074) * 0.074074 * 1 * 0.0154 = (13.5) * 0.074074 * 0.0154. ولكن لاحظ أن (1/B)* (d1/d2)^(d1/2) = 13.5 * 0.074074 = 1 بالضبط؟ في الحقيقة 1/B = 13.5 و (d1/d2)^(d1/2)=0.074074، حاصل الضرب = 1. لذا f = 1 * 1 * 0.0154 = 0.0154.

وبالتالي، فإن قيمة دالة الكثافة تساوي تقريباً 0.0154. هذا يشير إلى أنه عند x=4.5، تكون الكثافة منخفضة نسبياً. بالنسبة لتوزيع F(2,27)، القيمة الحرجة عند مستوى α=0.05 حوالي 3.35. وبما أن 4.5 > 3.35، فإن القيمة الاحتمالية ستكون أقل من 0.05. كون دالة الكثافة تساوي 0.0154 نموذجي لمثل هذه القيم المتطرفة. في اختبار الفرضيات، انخفاض دالة الكثافة عند قيمة F عالية يشير إلى أن النتيجة المرصودة غير محتملة تحت فرضية العدم، مما يؤدي إلى رفض فرضية العدم.