خطوات الاستخدام
أدخل قيمة n (رقم الموقع في المتتالية) في حقل الإدخال. n هو عد صحيح غير سالب (0, 1, 2, ...). إذا كان n=0، فإن الناتج هو 0. إذا كان n=1، فإن الناتج هو 1. بالنسبة لـ n>1، يتم استخدام المعادلة التكرارية F(n) = F(n-1) + F(n-2). تقوم الآلة الحاسبة بحساب المتتالية من البداية باستخدام طريقة تكرارية خطية أو الصيغة المغلقة (صيغة بينيت) للأعداد الكبيرة.
تقوم الآلة بحساب كل حد من المتتالية بدءاً من F(0)=0 و F(1)=1. لكل خطوة i من 2 إلى n، يتم حساب F(i) = F(i-1) + F(i-2). يتم تخزين النتائج في مصفوفة لعرض المتتالية كاملة. تستخدم الآلة خوارزمية فعالة لضمان السرعة حتى مع n الكبيرة نسبياً (مثلاً n=1000) من خلال تحسين العمليات الحسابية.
بعد الحساب، تعرض الآلة نتيجتين: (1) قيمة الرقم في الموقع n (أي F(n))، و (2) قائمة بجميع الأرقام في المتتالية من F(0) إلى F(n). يمكن للمستخدم رؤية النمط الذهبي والعلاقة مع النسبة الذهبية φ (phi) التي تقترب منها نسبة الأعداد المتتالية كلما زاد n. θ
أمثلة محلولة
تطبيقات عملية على متتالية فيبوناتشي بخطوات الحل كاملة.
الحل
لحساب الرقم العاشر (n=10)، نبدأ بـ F(0)=0، F(1)=1. ثم: F(2)=1، F(3)=2، F(4)=3، F(5)=5، F(6)=8، F(7)=13، F(8)=21، F(9)=34، F(10)=55. إذن الرقم العاشر هو 55، والمتتالية الكاملة هي: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. لاحظ أن النسبة بين الأعداد المتتالية تقترب من النسبة الذهبية φ ≈ 1.618. على سبيل المثال، 55/34 ≈ 1.6176.
الحل
باستخدام المعادلة التكرارية، نجد F(20)=6765. تأكيداً باستخدام صيغة بينيت: F(n) = (φ^n - ψ^n) / √5، حيث φ = (1+√5)/2 ≈ 1.6180339، ψ = (1-√5)/2 ≈ -0.6180339. نحسب φ^20 ≈ 15126.999، ψ^20 ≈ 0.000 (لأن |ψ|<1)، ثم F(20) ≈ 15126.999 / √5 ≈ 6765.000. النتيجة مطابقة. المتتالية حتى F(20): 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765.