توزيع جاما

المطلوب إيجاد f(3) لتوزيع جاما (α=2, β=1)، وكذلك المتوسط والتباين. أولاً، قانون PDF: f(x) = (β^α * x^(α-1) * e^(-βx)) / Γ(α). هنا β=1، α=2، x=3. نحسب الأجزاء: β^α = 1^2 = 1. x^(α-1) = 3^(2-1) = 3^1 = 3. e^(-βx) = e^(-1*3) = e^(-3) ≈ 0.049787. Γ(α) = Γ(2) = (2-1)! = 1! = 1. اضرب البسط: 1 * 3 * 0.049787 = 0.149361. اقسم على المقام 1: PDF = 0.149361. المتوسط = α/β = 2/1 = 2. التباين = α/β^2 = 2/1 = 2. إذن كثافة الاحتمال عند x=3 حوالي 0.1494، المتوسط 2، التباين 2. هذا توزيع منحرف لليمين، والقيمة عند x=3 معقولة لشكل 2.

لدينا α=5, β=0.5, x=10. نحسب PDF: β^α = (0.5)^5 = 0.03125. x^(α-1) = 10^4 = 10000. e^(-βx) = e^(-0.5*10) = e^(-5) ≈ 0.0067379. Γ(α) = Γ(5) = 4! = 24. البسط = 0.03125 * 10000 * 0.0067379 = 312.5 * 0.0067379 = 2.10559375. اقسم على 24: 2.10559375 / 24 = 0.087733. إذن PDF ≈ 0.08773. المتوسط = 5/0.5 = 10. التباين = 5/(0.5^2) = 5/0.25 = 20. لاحظ أن المتوسط يساوي x=10، لكن الكثافة معتدلة لأن التوزيع يبلغ ذروته بالقرب من المتوسط لقيم الشكل الكبيرة. هذا التوزيع له شكل مرتفع نسبياً، لذا فهو أقل انحرافاً. الانحراف المعياري هو sqrt(20) ≈ 4.47، لذلك x=10 قريب من المتوسط.