خطوات الاستخدام
الخطوة 1: فهم التوزيع الهندسي. التوزيع الهندسي يمثل عدد المحاولات اللازمة لتحقيق أول نجاح في سلسلة من محاولات برنولي المستقلة، كل منها له نفس احتمال النجاح p. هذا التوزيع لا ذاكرة له، مما يعني أن احتمال النجاح في المحاولة التالية يظل p بغض النظر عن الإخفاقات السابقة.
الخطوة 2: أدخل احتمال النجاح (p). يجب أن يكون هذا الرقم بين 0 و1 (غير شامل الصفر، وشامل الواحد للتوزيع التافه). مثلاً، إذا كانت فرصة النجاح في كل محاولة 0.2، أدخل 0.2. تحدد هذه المعلمة شكل التوزيع: كلما صغر p زاد طول الذيل لانتظار النجاح.
الخطوة 3: أدخل عدد المحاولات (k). هذا هو رقم المحاولة التي تريد أن يحدث فيها أول نجاح. يجب أن يكون k عدداً صحيحاً موجباً (k ≥ 1). مثلاً، إذا كنت تريد احتمال أن يحدث أول نجاح في المحاولة الخامسة، أدخل 5.
الخطوة 4: حساب الاحتمال. الصيغة هي P(X = k) = (1 - p)^(k-1) * p. الآلة الحاسبة تحسب (1-p) مرفوعاً للأس (k-1) ثم تضربه في p. يعطي هذا الاحتمال بأن أول نجاح يحدث بالضبط في المحاولة k.
الخطوة 5: تفسير النتيجة. الناتج هو احتمال بين 0 و1. على سبيل المثال، مع p=0.2 و k=5، الاحتمال هو (0.8)^4 * 0.2 = 0.08192، أي حوالي 8.2% أن يحدث أول نجاح في المحاولة الخامسة. يمكنك أيضاً حساب الاحتمالات التراكمية (غير متوفرة هنا) باستخدام دالة التوزيع التراكمي: P(X ≤ k) = 1 - (1-p)^k.
أمثلة محلولة
تطبيقات عملية على التوزيع الهندسي بخطوات الحل كاملة.
الحل
لدينا توزيع هندسي مع p = 0.05 (احتمال العثور على معيب) و k = 10 (المحاولة التي يحدث فيها أول نجاح). الاحتمال هو P(X = 10) = (1 - 0.05)^(10-1) * 0.05 = (0.95)^9 * 0.05. أولاً، احسب 0.95^9. باستخدام تقريب: 0.95^9 = e^(9 * ln(0.95)) ≈ e^(9 * (-0.051293)) ≈ e^(-0.461637) ≈ 0.630. بشكل أكثر دقة، 0.95^9 = 0.630249. ثم اضرب في 0.05: 0.630249 * 0.05 = 0.03151245. إذن الاحتمال حوالي 0.0315، أو 3.15%. هذا يعني أن هناك فرصة بنسبة 3.15% تقريباً أن يظهر أول معيب بالضبط في الاختبار العاشر. لاحظ أن التوزيع الهندسي لا ذاكرة له، لذا فإن احتمال العثور على معيب في أي اختبار معين يبقى 5% بغض النظر عن الاختبارات السابقة. الاحتمال التراكمي بأن يحدث أول معيب بحلول الاختبار العاشر هو P(X ≤ 10) = 1 - (0.95)^10 = 1 - 0.5987 = 0.4013، أو 40.13%. يوضح هذا أن احتمال الانتظار 10 اختبارات بالضبط صغير نسبياً مقارنة بفرصة العثور على معيب في وقت أبكر أو لاحق.
الحل
بالنسبة للنرد العادل، احتمال الحصول على 6 في أي رمية هو p = 1/6 ≈ 0.1667. نريد أول نجاح في المحاولة الرابعة، لذا k = 4. باستخدام صيغة الاحتمال الهندسي: P(X = 4) = (1 - 1/6)^(4-1) * (1/6) = (5/6)^3 * (1/6). احسب (5/6)^3 = 125/216 ≈ 0.5787037. ثم اضرب في 1/6: (125/216) * (1/6) = 125/1296 ≈ 0.0964506. إذن الاحتمال حوالي 0.0965، أو 9.65%. هذا صغير نسبياً لأن احتمال النجاح في كل رمية ليس عالياً جداً. لاحظ أن العدد المتوقع للرميات للحصول على 6 هو 1/p = 6، لذا في المتوسط ستنتظر 6 رميات. الوسيط هو ceil(ln(2)/ln(5/6)) ≈ 4 رميات. كثيراً ما يُستخدم التوزيع الهندسي في نمذجة أوقات الانتظار للأحداث النادرة. على سبيل المثال، إذا كنت تريد احتمال أن يحدث أول 6 خلال أول 4 رميات، فسيكون الاحتمال التراكمي: P(X ≤ 4) = 1 - (5/6)^4 = 1 - 625/1296 = 671/1296 ≈ 0.5177، أو حوالي 51.77%.
أمثلة محسوبة
قيم مُدخَلة ونتيجة محسوبة فعليًا بواسطة التوزيع الهندسي.
قيم مُدخَلة قياسية
- p
- 0.5
- k
- 3
قيم مُدخَلة مرتفعة
- p
- 0.85
- k
- 5
قيم مُدخَلة منخفضة
- p
- 0.1
- k
- 2
قيم مُدخَلة مرتفعة
- p
- 0.1
- k
- 11