كيف أجد الأساس r للمتتالية الهندسية إذا علمت حدين غير متتاليين؟

إذا كان لدينا حدان a_i و a_j حيث i 20 = a_1 * 4 => a_1 = 5. هذه الطريقة مفيدة عندما لا نعرف الحد الأول مباشرة.

كيف أجد الأساس r للمتتالية الهندسية إذا علمت حدين غير متتاليين؟

إذا كان لدينا حدان a_i و a_j حيث i 20 = a_1 * 4 => a_1 = 5. هذه الطريقة مفيدة عندما لا نعرف الحد الأول مباشرة.

متتالية هندسية

خطوات الاستخدام

الخطوة 1: فهم المتتالية الهندسية. المتتالية الهندسية هي سلسلة من الأعداد حيث كل حد بعد الأول يُحصل عليه بضرب الحد السابق في عدد ثابت يُسمى الأساس (r). الصيغة العامة لحساب الحد النوني هي: a_n = a_1 * r^(n-1)، حيث a_1 هو الحد الأول، r هو الأساس، و n هو رقم الحد المطلوب. تُستخدم هذه المتتاليات في نمذجة النمو الأسي، مثل النمو السكاني أو الفوائد المركبة.

الخطوة 2: إدخال القيم المطلوبة. في الحاسبة، أدخل قيمة الحد الأول (a_1). هذا هو أول رقم في المتتالية. ثم أدخل قيمة الأساس (r)، الذي يمثل النسبة الثابتة بين الحدود المتتالية. أخيرًا، أدخل رقم الحد (n) الذي تريد حسابه. تأكد من أن n عدد صحيح موجب (n ≥ 1). على سبيل المثال، إذا كانت المتتالية تبدأ بـ 3 وأساسها 2، فأدخل a_1=3, r=2

الخطوة 3: حساب الحد النوني. ستقوم الحاسبة بتطبيق الصيغة a_n = a_1 * r^(n-1). على سبيل المثال، إذا أدخلت a_1=3, r=2, n=5، فستحسب: a_5 = 3 * 2^(5-1) = 3 * 2^4 = 3 * 16 = 48. الناتج هو 48، وهو الحد الخامس.

الأسئلة الشائعة

المتتالية الحسابية هي سلسلة أعداد يكون الفرق بين كل حدين متتاليين ثابتًا (يسمى الفرق المشترك d)، مثل: 2، 5، 8، 11، ... حيث d=3. أما المتتالية الهندسية فالنسبة بين كل حدين متتاليين ثابتة (الأساس r)، مثل: 2، 6، 18، 54، ... حيث r=3. الفرق الأساسي: في الحسابية نضيف مقدارًا ثابتًا، وفي الهندسية نضرب في مقدار ثابت. التطبيقات: الحسابية تستخدم في التسلسل الخطي (مثل الأقساط الثابتة)، بينما الهندسية تستخدم في النمو الأسي (مثل الفائدة المركبة، نمو البكتيريا).

مجموع أول n حدًا من متتالية هندسية (S_n) يُعطى بالصيغة: S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r) عندما r ≠ 1. إذا كانت r=1، فالمجموع هو n * a_1. هذه الصيغة مهمة جدًا في حل مسائل مثل حساب القيمة المستقبلية لسلسلة من الدفعات المنتظمة (المعاشات). اشتقاق الصيغة: نكتب S_n = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + ... + a_1 r^(n-1). نضرب في r: r S_n = a_1 r + a_1 r^2 + ... + a_1 r^n. نطرح: S_n - r S_n = a_1 - a_1 r^n، إذن S_n(1 - r) = a_1 (1 - r^n)، لذا S_n = a_1 (1 - r^n) / (1 - r). لاحظ أن r لا تساوي 1. مثال: متتالية 3، 6، 12، ... a_1=3, r=2, n=5: S_5 = 3*(1-2^5)/(1-2) = 3*(1-32)/(-1) = 3*(-31)/(-1) = 93. تحقق: 3+6+12+24+48=93.

المجموع اللانهائي لمتتالية هندسية (S) موجود فقط إذا كانت قيمة الأساس r بين -1 و 1 (أي |r| < 1). في هذه الحالة، تقترب الحدود من الصفر كلما زاد n. الصيغة هي: S = a_1 / (1 - r). وتُشتق من صيغة المجموع المحدود بأخذ النهاية عندما n→∞: S_n = a_1 (1 - r^n)/(1 - r). عندما |r|<1، r^n → 0، لذا S → a_1/(1 - r). مثال: متتالية 10، 5، 2.5، 1.25، ... a_1=10, r=0.5. المجموع اللانهائي = 10/(1-0.5)=10/0.5=20. هذا يعني أن مجموع كل الحدود اللانهائية هو 20. التطبيقات: الكسور العشرية الدورية، مثل 0.3333... = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ... = (3/10)/(1-1/10)=3/9=1/3.

إذا كان لدينا حدان a_i و a_j حيث i < j، فيمكن إيجاد r باستخدام العلاقة: a_j = a_i * r^(j-i). لذا r = (a_j / a_i)^(1/(j-i)). على سبيل المثال، إذا كان a_3 = 20 و a_6 = 160، فإن r = (160/20)^(1/(6-3)) = (8)^(1/3) = 2. ثم يمكن إيجاد a_1 من a_3 = a_1 * r^2 => 20 = a_1 * 4 => a_1 = 5. هذه الطريقة مفيدة عندما لا نعرف الحد الأول مباشرة.

متتالية هندسية

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

أمثلة محلولة

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

حاسبات ذات صلة

1مثال 1: في متتالية هندسية، الحد الأول هو 5 والأساس هو 3. ما هو الحد العاشر؟

2مثال 2: استثمار قيمته الأولية 1000 دولار ينمو بنسبة 5% سنويًا (أساس 1.05). ما هي قيمة الاستثمار بعد 8 سنوات؟

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة