التوزيع فوق الهندسي

نطبق التوزيع الهندسي الفائق. هنا، حجم المجتمع N = 52 (إجمالي البطاقات)، عدد النجاحات في المجتمع K = 13 (قلوب)، حجم العينة n = 5 (بطاقات مسحوبة)، وعدد النجاحات المطلوب في العينة x = 2 (قلوب). الاحتمال هو: P(X=2) = [C(13,2) * C(39,3)] / C(52,5). احسب: C(13,2) = 78، C(39,3) = 9139، C(52,5) = 2,598,960. إذن P = (78 * 9139) / 2,598,960 = 712,842 / 2,598,960 ≈ 0.2743. وبالتالي، هناك حوالي 27.43% فرصة لسحب قلوبين بالضبط في يد مكونة من 5 بطاقات. هذه النتيجة بديهية لأن نسبة القلوب هي 1/4، ومع عينة صغيرة، يكون التباين مرتفعاً.

هنا، N = 100 (إجمالي القطع)، K = 10 (قطع معيبة)، n = 20 (حجم العينة)، x = 3 (قطع معيبة في العينة). الاحتمال هو: P(X=3) = [C(10,3) * C(90,17)] / C(100,20). احسب: C(10,3) = 120، C(90,17) عدد كبير، يمكن حسابه باستخدام آلة حاسبة أو تقريب. القيمة الدقيقة: C(90,17) = 90!/(17!73!) ≈ 3.323e18 (باستخدام برنامج). C(100,20) ≈ 5.359e20. إذن P ≈ (120 * 3.323e18) / 5.359e20 = 3.9876e20 / 5.359e20 ≈ 0.744. الاحتمال الدقيق حوالي 0.744 أو 74.4%. هذا منطقي لأن نسبة المعيب 10%، وعينة من 20 قد تحتوي على حوالي 2 معيب في المتوسط، لذا 3 أعلى قليلاً من المتوسط لكنه محتمل.