اختبار كولموجوروف-سميرنوف

حجم العينة n = 5. البيانات المرتبة: 5,7,8,9,10. دالة التوزيع التراكمي التجريبية: F_n(5)=0.2, F_n(7)=0.4, F_n(8)=0.6, F_n(9)=0.8, F_n(10)=1.0. دالة التوزيع التراكمي النظرية عند كل نقطة: باستخدام μ=8, σ=2: z = (x-8)/2. لـ x=5: z=-1.5, F(5)=Φ(-1.5)=0.0668; x=7: z=-0.5, F(7)=0.3085; x=8: z=0, F(8)=0.5; x=9: z=0.5, F(9)=0.6915; x=10: z=1, F(10)=0.8413. الفروق المطلقة: |0.2-0.0668|=0.1332, |0.4-0.3085|=0.0915, |0.6-0.5|=0.1, |0.8-0.6915|=0.1085, |1.0-0.8413|=0.1587. أقصى فرق D = 0.1587. تقريب القيمة الاحتمالية: p = 2 * مجموع_{k=1}^∞ (-1)^{k-1} exp(-2k^2 *5*0.1587^2). لـ k=1: exp(-2*5*0.0252)=exp(-0.252)=0.777; k=2: -exp(-2*4*5*0.0252)= -exp(-1.008)= -0.365; المجموع=0.412; الحدود التالية مهملة، لذا p≈2*0.412=0.824. بما أن p >> 0.05، لا نرفض H0. البيانات متوافقة مع التوزيع N(8,4). ملاحظة: العينة صغيرة لذا الاختبار ضعيف.

حجم العينة n=20, μ=16, σ=8. أولاً، ترتيب البيانات. ثم حساب دالة التوزيع التراكمي التجريبية عند كل نقطة (دالة متدرجة). حساب دالة التوزيع التراكمي النظرية باستخدام قيم z. على سبيل المثال، أول قيمة 3: z=(3-16)/8=-1.625, F(3)=Φ(-1.625)=0.052. دالة التوزيع التراكمي التجريبية عند 3: 1/20=0.05. الفرق 0.002. نستمر لجميع النقاط. غالباً ما تحدث أقصى قيمة D عند الأطراف. لنفترض أنه بعد الحساب D=0.124. ثم نحسب القيمة الاحتمالية: باستخدام الصيغة التقريبية p≈2*مجموع... أو باستخدام برنامج. لـ n=20, D=0.124 يعطي p≈0.80 (لأن القيمة الحرجة عند α=0.05 حوالي 0.294). لذلك لا نرفض H0. البيانات لا تقدم دليلاً ضد التوزيع الطبيعي. يوضح هذا المثال أنه حتى لو بدت البيانات غير طبيعية بصرياً، قد لا يرفض اختبار KS بسبب صغر حجم العينة أو لأن الانحرافات ليست كبيرة.