خطوات الاستخدام
الخطوة 1: فهم التفرطح. التفرطح يقيس 'طرفية' التوزيع الاحتمالي. يشير إلى ما إذا كانت البيانات ذات ذيول ثقيلة أم خفيفة مقارنة بالتوزيع الطبيعي. يُعرّف التفرطح الزائد بأنه التفرطح ناقص 3، لذا فإن التوزيع الطبيعي له تفرطح زائد يساوي 0. التفرطح الزائد الموجب يعني ذيولاً ثقيلة (ليبتوكيرتي)، والسالب يعني ذيولاً خفيفة (بلاتيكيرتي).
الخطوة 2: أدخل مجموعة البيانات الخاصة بك. أدخل قائمة من القيم الرقمية مفصولة بفواصل. ستحسب الآلة الحاسبة التفرطح الزائد للعينة باستخدام الصيغة: g₂ = (n(n+1)/((n-1)(n-2)(n-3))) * Σ((xᵢ - x̄)⁴/s⁴) - (3(n-1)²/((n-2)(n-3)))، حيث n هو حجم العينة، x̄ هو متوسط العينة، s هو الانحراف المعياري للعينة (باستخدام مقام n-1). هذه الصيغة تضبط انحياز العينة.
الخطوة 3: تقوم الآلة الحاسبة أولاً بحساب المتوسط (x̄) لقيمك. ثم تحسب الانحرافات (xᵢ - x̄) وترفعها إلى القوة الرابعة. تجمع هذه القوى الرابعة. كما تحسب تباين العينة s² = Σ(xᵢ - x̄)²/(n-1) ثم s⁴ = (s²)². العزم الرابع هو m₄ = Σ(xᵢ - x̄)⁴/n، لكن الصيغة أعلاه تستخدم مقياسًا مختلفًا للتقدير غير المتحيز.
الخطوة 4: النتيجة النهائية هي قيمة التفرطح الزائد. التفسير: إذا كانت قيمة التفرطح الزائد ≈ 0، فإن التوزيع له سلوك ذيل مشابه للتوزيع الطبيعي. إذا كانت موجبة، فهناك قيم متطرفة أكثر من الطبيعي. إذا كانت سالبة، فهناك عدد أقل من القيم المتطرفة. استخدم هذا لتقييم المخاطر في المالية، وفحص الحالة الطبيعية للبيانات في الإحصاء، أو شكل التوزيعات.
أمثلة محلولة
تطبيقات عملية على حاسبة التفرطح بخطوات الحل كاملة.
الحل
لدينا n=5 قيم: 2,3,5,7,9.
الخطوة 1: حساب المتوسط: x̄ = (2+3+5+7+9)/5 = 26/5 = 5.2.
الخطوة 2: حساب الانحرافات:
(2-5.2)=-3.2, (3-5.2)=-2.2, (5-5.2)=-0.2, (7-5.2)=1.8, (9-5.2)=3.8.
الخطوة 3: القوى الرابعة للانحرافات:
(-3.2)^4 = (10.24)^2 = 104.8576.
(-2.2)^4 = (4.84)^2 = 23.4256.
(-0.2)^4 = 0.0016.
1.8^4 = (3.24)^2 = 10.4976.
3.8^4 = (14.44)^2 = 208.5136.
مجموع القوى الرابعة = 104.8576+23.4256+0.0016+10.4976+208.5136 = 347.296.
الخطوة 4: حساب تباين العينة s² = Σ(xᵢ-x̄)²/(n-1). أولاً مربعات الانحرافات:
(-3.2)^2=10.24, (-2.2)^2=4.84, (-0.2)^2=0.04, (1.8)^2=3.24, (3.8)^2=14.44. المجموع=10.24+4.84+0.04+3.24+14.44=32.8. s²=32.8/4=8.2. إذن s = √8.2 ≈ 2.86356. ثم s⁴ = (s²)² = 8.2² = 67.24.
الخطوة 5: حساب الحد الأول: n(n+1)/((n-1)(n-2)(n-3)) = 5*6/(4*3*2) = 30/24 = 1.25.
الخطوة 6: حساب Σ(xᵢ-x̄)⁴/s⁴ = 347.296/67.24 ≈ 5.1651.
الخطوة 7: الجزء الأول = 1.25 * 5.1651 = 6.4564.
الخطوة 8: الحد الثاني: 3(n-1)²/((n-2)(n-3)) = 3*(4²)/(3*2) = 3*16/6 = 48/6 = 8.
الخطوة 9: التفرطح الزائد g₂ = 6.4564 - 8 = -1.5436.
وبالتالي فإن التفرطح الزائد للعينة يساوي تقريباً -1.54، مما يشير إلى توزيع بلاتيكيرتي (ذيول خفيفة).
الحل
مجموعة البيانات: -5, -2, 0, 1, 3, 8. n=6.
المتوسط: (-5-2+0+1+3+8)/6 = 5/6 ≈ 0.83333.
الانحرافات:
(-5-0.83333)=-5.83333, (-2-0.83333)=-2.83333, (0-0.83333)=-0.83333, (1-0.83333)=0.16667, (3-0.83333)=2.16667, (8-0.83333)=7.16667.
القوى الرابعة:
(-5.83333)^4: تربيع أولاً: 34.0278، ثم تربيع: 1157.9 تقريباً.
(-2.83333)^4: تربيع=8.0278، تربيع=64.445.
(-0.83333)^4: تربيع=0.69444، تربيع=0.4823.
(0.16667)^4: تربيع=0.02778، تربيع=0.0007716.
(2.16667)^4: تربيع=4.6944، تربيع=22.04.
(7.16667)^4: تربيع=51.361، تربيع=2638.0.
مجموع القوى الرابعة = 1157.9+64.445+0.4823+0.0007716+22.04+2638.0 = 3882.868.
تباين العينة: مجموع مربعات الانحرافات:
(-5.83333)^2=34.0278, (-2.83333)^2=8.0278, (-0.83333)^2=0.69444, (0.16667)^2=0.02778, (2.16667)^2=4.6944, (7.16667)^2=51.361. المجموع = 34.0278+8.0278+0.69444+0.02778+4.6944+51.361 = 98.8332. s² = 98.8332/5 = 19.7666. s⁴ = (19.7666)² = 390.72.
n(n+1)/((n-1)(n-2)(n-3)) = 6*7/(5*4*3) = 42/60 = 0.7.
Σ(xᵢ-x̄)⁴/s⁴ = 3882.868/390.72 = 9.938.
الجزء الأول = 0.7 * 9.938 = 6.9566.
الحد الثاني: 3(n-1)²/((n-2)(n-3)) = 3*25/(4*3) = 75/12 = 6.25.
التفرطح الزائد = 6.9566 - 6.25 = 0.7066.
إذن التفرطح الزائد ≈ 0.707 > 0، مما يشير إلى ذيول ثقيلة قليلاً (ليبتوكيرتي) مقارنة بالتوزيع الطبيعي. وهذا يعني وجود عوائد متطرفة أكثر مما هو متوقع من التوزيع الطبيعي.
أمثلة محسوبة
قيم مُدخَلة ونتيجة محسوبة فعليًا بواسطة حاسبة التفرطح.
قيم مُدخَلة قياسية
- القيم (مفصولة بفواصل)
- 10, 20, 30, 40, 50