قانون الجيوب

خطوات الاستخدام

الخطوة 1: فهم قانون الجيوب. ينص القانون على أن نسبة طول ضلع في المثلث إلى جيب الزاوية المقابلة له ثابتة. الصيغة هي: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R، حيث R هو نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث. يستخدم هذا القانون لحل المثلثات غير القائمة عندما نعرف زاويتين وضلع (AAS أو ASA) أو ضلعين وزاوية غير محصورة (SSA - الحالة المبهمة).

الخطوة 2: تحديد المعطيات والمطلوب. أدخل القيم المعلومة للأضلاع (a, b, c) والزوايا (A, B, C) بالدرجات أو الراديان. اختر العملية المطلوبة: مثلاً 'حل المثلث' أو 'إيجاد ضلع' أو 'إيجاد زاوية'. تأكد من أن المدخلات تتوافق مع حالات القانون.

الخطوة 3: تطبيق النسبة المناسبة. على سبيل المثال، إذا كان لدينا a, A, B، يمكن إيجاد b باستخدام a/sin(A) = b/sin(B) → b = a × sin(B) / sin(A). إذا كان لدينا ضلعان وزاوية غير محصورة (SSA)، تحقق من وجود حل واحد أو حلين أو لا حل (الحالة المبهمة).

الأسئلة الشائعة

الحالة المبهمة تحدث عندما نعرف ضلعين وزاوية غير محصورة بينهما (SSA). في هذه الحالة، قد يكون هناك حل واحد، حلان، أو لا حل. السبب هو أن دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني، أي أن الزاوية الحادة والزاوية المنفرجة (المكملة) لهما نفس الجيب. عند حساب الزاوية المجهولة B من sin(B) = (b × sin(A))/a، نحصل على زاويتين محتملتين: B1 = arcsin(...) و B2 = 180° - B1. يجب فحص كل منهما: نجمع A مع كل من B1 و B2، إذا كان المجموع أقل من 180°، نحصل على C = 180 - (A+B) ونستخدم القانون لحساب الضلع المتبقي. إذا كان المجموع يساوي 180° بالضبط، فهي حالة خاصة (مثلث قائم). إذا كان المجموع أكبر، فهذا الحل مرفوض. أيضاً، إذا كانت قيمة sin(B) > 1، فلا حل (الضلع المعطى قصير جداً). مثال: a=5, b=7, A=30°. sin(B)=7×0.5/5=0.7 → B≈44.4° أو 135.6°. كلا المجموعين مع 30° أقل من 180° (74.4° و 165.6°) لذا حلان. أما إذا كان a=5, b=7, A=120°، فالمجموع يتجاوز 180° للحالة الثانية، فيكون حل واحد فقط. للحسم، ننظر إلى ارتفاع المثلث: h = b sin(A). إذا كان a < h، لا حل. إذا a = h، حل واحد قائم. إذا a > h و a < b، حلان. إذا a ≥ b، حل واحد. هذه القاعدة تساعد في توقع عدد الحلول.

يشتق قانون الجيوب من الدائرة المحيطة بالمثلث. لأي مثلث ABC، نرسم دائرة تمر برؤوسه، مركزها O ونصف قطرها R. نرسم القطر من الرأس B إلى النقطة D على الدائرة. الزاوية BCD هي زاوية قائمة (زاوية محيطية تقابل القطر). الزاوية D تساوي الزاوية A (زوايا محيطية مشتركة في القوس BC). في المثلث القائم BCD، sin(D) = المقابل/الوتر = BC/BD = a/(2R) → a = 2R sin(A). وبالمثل، b = 2R sin(B) و c = 2R sin(C). بقسمة a على sin(A) نحصل على 2R، وهو ثابت. هذا يثبت أن a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R. هذه العلاقة تربط الأضلاع بالزوايا ونصف قطر الدائرة المحيطة، وتستخدم أيضاً لحساب R: R = a/(2 sin(A)). كما يمكن استخدامها في مسائل أخرى، مثل إيجاد مساحة المثلث: المساحة = (abc)/(4R). قانون الجيوب هو أداه قوية في حساب المثلثات ونظرية الدوائر.

نعم، يمكن تطبيق قانون الجيوب على أي مثلث، بما في ذلك المثلثات القائمة. لكن في المثلث القائم، تكون النسب المثلثية (sin, cos, tan) أبسط وأكثر مباشرة لأن هناك زاوية 90°. على سبيل المثال، في مثلث قائم الزاوية C=90°، نعلم أن sin(C)=1، فيصبح القانون: a/sin(A)=b/sin(B)=c. هذا يتوافق مع العلاقات المعروفة: sin(A)=a/c، sin(B)=b/c. لذا استخدام قانون الجيوب في المثلث القائم يعطي نفس النتائج ولكنه يتطلب خطوات إضافية غير ضرورية. يفضل استخدام النسب المثلثية الأساسية (SOH CAH TOA) لحل المثلثات القائمة لأنها أسرع وأقل عرضة للخطأ. ومع ذلك، قانون الجيوب مفيد في المثلثات غير القائمة حيث لا تتوفر هذه النسب المباشرة.

يستخدم قانون الجيوب في العديد من المجالات العملية. في الملاحة (البحرية والجوية)، يمكن تحديد موقع سفينة أو طائرة باستخدام زوايا الرصد لمعالم معروفة. مثلاً، يرصد مراقبان على شاطئين نقطة ما في البحر، مقاسين الزوايا بين خط الرؤية والخط الواصل بينهما. بمعرفة المسافة بين المراقبين، يمكن حساب بعد النقطة عن كل منهما باستخدام قانون الجيوب. في علم المساحة (surveying)، يستخدم القانون لحساب المسافات التي يصعب قياسها مباشرة، مثل عرض نهر أو ارتفاع جبل. يقوم المساح بقياس زاويتين وضلع واحد (طريقة التثليث) لبناء مثلث وحساب الأبعاد المطلوبة. في الهندسة المدنية، يستخدم في تصميم الجسور والأبراج حيث تتطلب الحسابات الدقيقة للقوى والزوايا. أيضاً في الفيزياء، عند تحليل القوى في المستوى المائل أو نظام البكرات، تستخدم قوانين المثلثات ومنها قانون الجيوب. باختصار، أي مشكلة تتضمن مثلثات غير قائمة وقياسات زوايا وأضلاع يمكن حلها بقانون الجيوب.

قانون الجيوب

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

أمثلة محلولة

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة

أدخل القيم

خطوات الاستخدام

حاسبات ذات صلة

1في مثلث ABC، الزاوية A = 40°، الزاوية B = 60°، والضلع a = 8 سم. أوجد الضلعين b و c والزاوية C.

2في مثلث ABC، الضلع a = 7 سم، الضلع b = 10 سم، الزاوية A = 30°. أوجد الزاوية B إن أمكن، ثم احسب باقي العناصر. تحقق من وجود حل واحد أو حلين.

أمثلة محسوبة

الأسئلة الشائعة