المعادلات: (1): x + y + z = 6; (2): 2x - y + z = 3; (3): x + 2y - z = 2. المعاملات: a11=1, a12=1, a13=1, b1=6; a21=2, a22=-1, a23=1, b2=3; a31=1, a32=2, a33=-1, b3=2. نحسب D بالصيغة: D = a11*(a22*a33 - a23*a32) - a12*(a21*a33 - a23*a31) + a13*(a21*a32 - a22*a31). بالتعويض: a22*a33 = (-1)*(-1)=1; a23*a32 = 1*2=2; الفرق = 1-2 = -1. إذن الحد الأول = 1*(-1) = -1. الحد الثاني: a12=1, a21*a33 = 2*(-1)=-2; a23*a31 = 1*1=1; الفرق = -2-1=-3; -a12*(ذلك) = -1*(-3)=3. الحد الثالث: a13=1, a21*a32 = 2*2=4; a22*a31 = (-1)*1=-1; الفرق = 4-(-1)=5; +a13*(ذلك)=1*5=5. إذن D = -1+3+5=7. Dx نستبدل عمود x بـ b: Dx = b1*(a22*a33 - a23*a32) - a12*(b2*a33 - a23*b3) + a13*(b2*a32 - a22*b3). نحسب: b1*(...)=6*(-1)=-6; a12*(b2*a33 - a23*b3)=1*(3*(-1)-1*2)=1*(-3-2)=-5; بإشارة سالبة: -(-5)=+5; a13*(b2*a32 - a22*b3)=1*(3*2 - (-1)*2)=1*(6+2)=8. Dx = -6+5+8=7. Dy: استبدال y: Dy = a11*(b1*a33 - a23*b3) - b1*(a21*a33 - a23*a31) + a13*(a21*b3 - b1*a31). a11*(...)=1*(6*(-1)-1*2)=1*(-6-2)=-8; -b1*(a21*a33 - a23*a31)= -6*(2*(-1)-1*1)=-6*(-2-1)=-6*(-3)=18; a13*(a21*b3 - b1*a31)=1*(2*2 - 6*1)=1*(4-6)=-2. Dy = -8+18-2=8. Dz: استبدال z: Dz = a11*(a22*b3 - b2*a32) - a12*(a21*b3 - b2*a31) + b1*(a21*a32 - a22*a31). a11*(...)=1*((-1)*2 - 3*2)=1*(-2-6)=-8; -a12*(...)= -1*(2*2 - 3*1)= -1*(4-3)= -1; b1*(a21*a32 - a22*a31)=6*(2*2 - (-1)*1)=6*(4+1)=30. Dz = -8 -1 +30 =21. الحل: x = Dx/D = 7/7=1; y = Dy/D = 8/7 ≈ 1.143; z = Dz/D = 21/7=3. تحقق: (1): 1+1.143+3=5.143 ≠6؟ خطأ! نعيد الحساب بدقة: D=7 صحيح. لنحسب Dx مرة أخرى: Dx = 6*( (-1)*(-1) - 1*2 ) - 1*(3*(-1) - 1*2) + 1*(3*2 - (-1)*2) = 6*(1-2) -1*(-3-2)+1*(6+2) = 6*(-1) -1*(-5)+8 = -6+5+8=7. صحيح. Dy: Dy = 1*(6*(-1) - 1*2) - 6*(2*(-1)-1*1) + 1*(2*2 - 6*1) = 1*(-6-2) -6*(-2-1)+1*(4-6) = -8 -6*(-3)-2 = -8+18-2=8. صحيح. Dz: Dz = 1*((-1)*2 - 3*2) -1*(2*2 -3*1) +6*(2*2 - (-1)*1) = 1*(-2-6)-1*(4-3)+6*(4+1) = -8 -1 +30=21. x=1, y=8/7≈1.142857, z=3. تحقق في المعادلة الأولى: 1 + 1.142857 + 3 = 5.142857، وليس 6! إذاً هناك خطأ في تبليغ المعادلات؟ ربما المعادلة الأولى x+y+z=6، لكننا حصلنا على 5.1429. نتحقق من التعويض: 1 + 1.142857 + 3 = 5.142857. هذا لا يساوي 6. إذن إما أن المعادلة الأولى خاطئة أو أن الحل غير صحيح. نتحقق من الحل بطريقة أخرى: استخدم التعويض: من المعادلة (3): z = x+2y-2. عوض في (1): x+y+x+2y-2=6 → 2x+3y=8. عوض في (2): 2x-y+x+2y-2=3 → 3x+y=5. حل النظام 2×2: 2x+3y=8 و 3x+y=5. من الثانية: y=5-3x. عوض في الأولى: 2x+3(5-3x)=8 → 2x+15-9x=8 → -7x=-7 → x=1. ثم y=5-3=2. ثم z=1+2*2-2=1+4-2=3. إذن الحل الصحيح: x=1, y=2, z=3. لاحظ أن D كان 7، لكن Dx=7 يعطي x=1، Dy=8 يعطي y=8/7=1.1429 ولكن الصحيح y=2. إذن هناك خطأ في حساب Dy. نعيد حساب Dy باستخدام الطريقة الصحيحة: Dy = det( [[1,6,1], [2,3,1], [1,2,-1]] ) حيث استبدلنا عمود y بالثوابت. نحسب محدد المصفوفة: = 1*(3*(-1)-1*2) - 6*(2*(-1)-1*1) + 1*(2*2 - 3*1) = 1*(-3-2) -6*(-2-1) + 1*(4-3) = -5 -6*(-3) +1 = -5+18+1=14. إذاً Dy=14، وليس 8. D=7، إذن y=14/7=2. Dz: استبدال z: ⎡1 1 6⎤, ⎣2 -1 3⎦, [1 2 2] → محدد = 1*((-1)*2 - 3*2) - 1*(2*2 - 3*1) + 6*(2*2 - (-1)*1) = 1*(-2-6) -1*(4-3)+6*(4+1) = -8 -1+30=21 → z=21/7=3. إذن الحل صحيح: x=1, y=2, z=3. الخطأ كان في حساب Dy السابق بسبب خطأ في كتابة المصفوفة. مثالنا يوضح أهمية الدقة في حساب المحددات.