التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي

للحل، نلاحظ أولاً أن μ و σ هم معلمات التوزيع الطبيعي الكامن لـ ln(S). هنا μ = 0.1، σ = 0.3، و x = 50. دالة الكثافة تعطى بالصيغة f(x) = (1/(xσ√(2π))) * exp(-(ln(x)-μ)²/(2σ²)). احسب ln(50) ≈ 3.912. ثم (ln(x)-μ) = 3.912 - 0.1 = 3.812. مربع: 3.812² ≈ 14.53. اقسم على 2σ² = 2*(0.3²)=2*0.09=0.18: 14.53/0.18 ≈ 80.72. إذن exp(-80.72) ≈ 6.7e-36. المقام: xσ√(2π) = 50*0.3*√(6.2832)=15*2.5066≈37.60. وبالتالي PDF ≈ 6.7e-36 / 37.60 ≈ 1.78e-37. هذه الكثافة الصغيرة للغاية تعكس أن 50 دولارًا بعيد جدًا عن النطاق النموذجي. متوسط S هو exp(μ + σ²/2) = exp(0.1 + 0.09/2) = exp(0.1+0.045)=exp(0.145)≈1.156. لذا السعر المتوقع حوالي 1.156 دولار؟ هذا يبدو منخفضًا؛ في الواقع المتوسط بنفس وحدات السعر، لكن هنا μ صغير و σ معتدل، لذا القيمة المتوقعة هي exp(0.145)=1.156، وهي ليست 50 دولارًا. هذا يشير إلى أن 50 دولارًا قيمة متطرفة. التباين هو (exp(σ²)-1)*exp(2μ+σ²) = (exp(0.09)-1)*exp(0.2+0.09)= (1.09417-1)*exp(0.29)=0.09417*1.3364≈0.1259. لذا التباين صغير. هذا يشير إلى أن توزيع سعر السهم متمركز حول 1.156 دولار، لذا 50 دولارًا غير محتمل للغاية. يعكس PDF ذلك. عمليًا، يتم تقدير μ و σ لعوائد الأسهم من البيانات التاريخية؛ متوسط μ قد يكون حوالي 0.05-0.1 سنويًا و σ حوالي 0.2-0.4. يوضح المثال كيفية تطبيق الصيغ.

هنا x = 100، μ = 4، σ = 0.5. أولاً احسب ln(100) = 4.605. ثم (ln(x)-μ) = 4.605 - 4 = 0.605. مربع: 0.605² = 0.366. اقسم على 2σ² = 2*(0.5²)=2*0.25=0.5: 0.366/0.5 = 0.732. لذا exp(-0.732) = 0.481. المقام: xσ√(2π) = 100*0.5*2.5066 = 50*2.5066 = 125.33. لذا PDF = 0.481/125.33 ≈ 0.00384. المتوسط = exp(μ + σ²/2) = exp(4 + 0.25/2) = exp(4+0.125)=exp(4.125)≈61.87 ساعة. التباين = (exp(σ²)-1)*exp(2μ+σ²) = (exp(0.25)-1)*exp(8+0.25)= (1.2840-1)*exp(8.25)=0.2840*3835≈1089. لذا الانحراف المعياري √1089≈33 ساعة. هذا يشير إلى أن أوقات الفشل النموذجية حوالي 62 ساعة، مع انتشار حوالي 33 ساعة. PDF عند 100 ساعة هو 0.00384، وهو منخفض نسبيًا لكنه ليس مهملاً مقارنة بالذروة. هذا المثال نموذجي لتحليل الموثوقية.