خطوات الاستخدام
الخطوة 1: أدخل بيانات عينتيك المستقلتين في الحاسبة. اختبار مان-ويتني U (المعروف أيضاً باختبار مجموع الرتب لويلكوكسون) هو اختبار لا معلمي يستخدم لتحديد ما إذا كانت عينتان مستقلتان تأتيان من نفس التوزيع. لا يفترض التوزيع الطبيعي، مما يجعله مناسباً للبيانات الترتيبية أو المستمرة غير الطبيعية. تأكد من أن بياناتك ترتيبية على الأقل وأن العينات مستقلة. إذا كانت هناك قيم متكررة، ستقوم الحاسبة تلقائياً بتعيين رتب متوسطة وتعديل إحصاء الاختبار تبعاً لذلك.
الخطوة 2: اختر نوع الذيل لاختبار فرضيتك. اختر 'ثنائي الذيل' إذا كنت تريد اختبار ما إذا كان التوزيعان يختلفان في أي اتجاه (مثل ميل أحدهما إلى قيم أكبر أو أصغر). اختر 'أحادي الذيل' إذا كانت لديك فرضية اتجاهية، مثل 'العينة الأولى تميل إلى قيم أكبر من العينة الثانية' (يميني الذيل) أو 'العينة الأولى تميل إلى قيم أصغر من العينة الثانية' (يساري الذيل). يؤثر اختيار الذيل على القيم الحرجة وحساب القيمة الاحتمالية.
الخطوة 3: ستقوم الحاسبة بدمج جميع المشاهدات من كلتا العينتين في مجموعة واحدة، وترتيبها من الأصغر إلى الأكبر (تعيين رتب متوسطة للمكررات)، ثم حساب مجموع الرتب لكل عينة. ليكن R1 مجموع رتب العينة الأولى (بحجم n1) و R2 للعينة الثانية (بحجم n2). تحسب إحصاءة U للعينة الأولى كالتالي: U1 = R1 - n1(n1+1)/2، وبالمثل U2 = R2 - n2(n2+1)/2. إحصاءة الاختبار U هي أصغر U1 و U2، لكن قد تخرج الحاسبة كليهما. لاحظ أن U1 + U2 = n1 * n2.
الخطوة 4: لأحجام العينات الصغيرة (عادةً n1, n2 ≤ 20)، ستقوم الحاسبة بحساب القيم الاحتمالية الدقيقة عن طريق تعداد جميع التباديل الممكنة للرتب المدمجة أو باستخدام توزيع محسوب مسبقاً. للعينات الكبيرة، تستخدم الحاسبة تقريباً طبيعياً مع تصحيح الاستمرارية: z = (U - μ) / σ، حيث μ = n1 n2 / 2 و σ = sqrt( n1 n2 (n1 + n2 + 1) / 12 ). ثم تُشتق القيمة الاحتمالية من دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي المعياري، مع تعديل مناسب لاختبار أحادي أو ثنائي الذيل.
الخطوة 5: تفسير النتائج: يتضمن الناتج إحصاءة U، والقيمة الاحتمالية، وأحياناً قيمة حرجة للمرجع. إذا كانت القيمة الاحتمالية أقل من مستوى الدلالة الذي اخترته (عادة 0.05)، فارفض الفرضية الصفرية بأن العينتين تأتيان من نفس التوزيع. يمكنك استنتاج أن هناك فرقاً ذا دلالة إحصائية بين المجموعتين. تذكر أن اختبار مان-ويتني ليس اختباراً للوسيطات إلا إذا كانت التوزيعات متطابقة في الشكل؛ فهو في الأساس اختبار للهيمنة العشوائية.
أمثلة محلولة
تطبيقات عملية على اختبار مان-ويتني U بخطوات الحل كاملة.
الحل
الخطوة 1: دمج جميع الدرجات وترتيبها (تعيين رتب متوسطة للمكررات، لكن لا توجد مكررات هنا): الدرجات: 60(ب)، 65(ب)، 68(ب)، 70(ب)، 72(ب)، 74(أ)، 78(أ)، 82(أ)، 85(أ)، 88(أ)، 90(أ). الرتب: 1،2،3،4،5،6،7،8،9،10،11.
الخطوة 2: حساب مجموع الرتب: للطريقة أ (ن1=6): الرتب 6،7،8،9،10،11 => ر1 = 6+7+8+9+10+11 = 51. للطريقة ب (ن2=5): الرتب 1،2،3،4،5 => ر2 = 15.
الخطوة 3: حساب إحصاءات U: U1 = ر1 - ن1(ن1+1)/2 = 51 - 6×7/2 = 51 - 21 = 30. U2 = ر2 - ن2(ن2+1)/2 = 15 - 5×6/2 = 15 - 15 = 0. إحصاءة الاختبار U = أصغر(U1, U2) = 0.
الخطوة 4: لأحجام صغيرة، نحسب القيمة الاحتمالية الدقيقة. تحت الفرضية الصفرية، يمكن اشتقاق توزيع U توافقياً. احتمال الحصول على U ≤ 0 عندما ن1=6 و ن2=5 هو نسبة التباديل التي تعطي مجموع رتب الطريقة أ متطرفاً بنفس القدر. بما أن U2=0، فهذا يعني أن جميع رتب الطريقة أ أعلى من جميع رتب الطريقة ب. العدد الإجمالي لاختيار 6 مواقع من 11 للطريقة أ هو C(11,6)=462. الطريقة الوحيدة للحصول على U2=0 هي إذا كانت جميع رتب الطريقة ب هي أصغر 5 رتب، أي المواقع 1-5 للطريقة ب والمواقع 6-11 للطريقة أ - وهذا ترتيب واحد. إذن القيمة الاحتمالية أحادية الذيل = 1/462 ≈ 0.00216. للاختبار ثنائي الذيل، نضرب في 2 (لأن التوزيع متماثل فقط عندما ن1=ن2؟ في الواقع توزيع U متماثل لأي ن1،ن2 تحت H0؟ التماثل قائم لأن توزيع U1 و U2 هما صورتان معكوستان. لكن القيمة الاحتمالية الدقيقة ثنائية الذيل هي احتمال الحصول على U متطرف أو أكثر في أي اتجاه. بما أن U=0 هي أدنى قيمة ممكنة، فإن نظيرتها U=30 (القيمة القصوى) لها أيضاً احتمال 1/462. إذن القيمة الاحتمالية ثنائية الذيل = 2/462 ≈ 0.00433.
الخطوة 5: بما أن القيمة الاحتمالية (0.00433) < 0.05، نرفض الفرضية الصفرية. هناك دليل معنوي على أن طرق التدريس تختلف في فعاليتها. في الواقع، الطريقة أ تعطي درجات أعلى من الطريقة ب.
الحل
الخطوة 1: دمج جميع القيم البالغ عددها 22 وترتيبها (من الأصغر إلى الأكبر). بسبب القيم المكررة، نعطي رتباً متوسطة. بعد الترتيب، نحصل على مجموعي الرتب: رX = مجموع رتب الغابة X، رY للغابة Y. (تم حذف التفاصيل لكن لنفترض أننا حسبنا). لنفترض بعد الترتيب نجد رX = 168، رY = 85.
الخطوة 2: حساب إحصاءات U: U_X = رX - نX(نX+1)/2 = 168 - 12×13/2 = 168 - 78 = 90. U_Y = رY - نY(نY+1)/2 = 85 - 10×11/2 = 85 - 55 = 30. U = أصغر(U_X, U_Y) = 30، لكن لاحظ أنه لاختبار أحادي الذيل نحتاج لمراعاة الاتجاه. بما أن H1: X > Y، نتوقع أن تكون U_X كبيرة. في الواقع، إحصاءة الاختبار U هي الأصغر، لكن يمكننا استخدام U_Y مباشرة. الطريقة النموذجية: لـ H1: X > Y، نرفض إذا كان مجموع الرتب (أو U) كبيراً جداً لـ X. لكن إذا كانت X تميل للقيم الأكبر، فإن U_X ستكون أكبر و U_Y أصغر. لذا يمكننا استخدام U = U_Y = 30. توزيع العدم متماثل، لذا نحسب القيمة الاحتمالية لرؤية U_Y ≤ 30.
الخطوة 3: حساب المتوسط والتباين تحت H0: μ = نX نY / 2 = 12×10/2 = 60. σ^2 = نX نY (نX+نY+1)/12 = 120 × 23 /12 = 120×23/12 = 2760/12؟ في الواقع 120×23=2760، مقسوماً على 12 = 230. إذن σ = الجذر التربيعي(230) ≈ 15.165.
الخطوة 4: حساب قيمة z مع تصحيح الاستمرارية: z = (U_Y - μ + 0.5) / σ (لأننا ننظر إلى الذيل السفلي). U_Y=30، لذا z = (30 - 60 + 0.5)/15.165 = (-29.5)/15.165 ≈ -1.945.
الخطوة 5: للاختبار أحادي الذيل (H1: X > Y)، نريد احتمال رؤية U_Y ≤ 30. هذا يتوافق مع الاحتمال في الذيل الأيسر للتوزيع الطبيعي المعياري. القيمة الاحتمالية = Φ(-1.945) ≈ 0.0259 (من جدول التوزيع الطبيعي). بما أن α=0.01، p > 0.01، لذلك نفشل في رفض H0. لا توجد أدلة كافية لاستنتاج أن الغابة X لديها تنوع أعلى من الغابة Y عند مستوى دلالة 0.01.
أمثلة محسوبة
قيم مُدخَلة ونتيجة محسوبة فعليًا بواسطة اختبار مان-ويتني U.
قيم مُدخَلة قياسية
- العينة 1 (مفصولة بفواصل)
- 30
- العينة 2 (مفصولة بفواصل)
- 30
- نوع الاختبار
- two