معكوس المصفوفة

الخطوة 1: فهم شروط وجود معكوس المصفوفة. يجب أن تكون المصفوفة مربعة (أي عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة) وأن يكون محددها (determinant) غير صفري. إذا كان المحدد صفراً، لا يوجد معكوس للمصفوفة وتسمى مصفوفة شاذة (singular). بالنسبة لمصفوفة 2×2، المحدد يُحسب بالصيغة: det = (a11 * a22) - (a12 * a21). أما لمصفوفة 3×3، فالمحدد يُحسب باستخدام قاعدة ساروس أو التوسيع بالعوامل الصغرى. يجب التأكد أولاً من أن قيمة المحدد ≠ 0 قبل محاولة حساب المعكوس.

الخطوة 2: حساب المصفوفة المصاحبة (adjugate matrix). للمصفوفة A، المصفوفة المصاحبة هي منقولة مصفوفة العوامل الصغرى (cofactor matrix). أولاً، نحسب العامل الصغرى لكل عنصر: العامل الصغرى للعنصر a_{ij} هو (-1)^(i+j) مضروباً في محدد المصفوفة الناتجة من حذف الصف i والعمود j. ثم ننقل المصفوفة الناتجة لنحصل على المصفوفة المصاحبة.

الخطوة 3: حساب المعكوس باستخدام الصيغة: A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A). أي نضرب كل عنصر في المصفوفة المصاحبة بمقلوب المحدد. يجب الانتباه إلى أن هذه الصيغة تنطبق على جميع المصفوفات المربعة القابلة للعكس. للمصفوفات 2×2 هناك صيغة مباشرة: إذا كانت A = [[a, b], [c, d]]، فإن A^(-1) = (1/(ad-bc)) * [[d, -b], [-c, a]].