خطوات الاستخدام
الخطوة 1: فهم التوزيع السالب ذو الحدين. يصف هذا التوزيع عدد النجاحات (k) التي تحدث قبل عدد محدد من الإخفاقات (r) في سلسلة من التجارب المستقلة (تجارب برنولي)، مع احتمال نجاح ثابت p. يُستخدم عندما تستمر التجربة حتى ملاحظة r من الإخفاقات. دالة الكتلة الاحتمالية (PMF) هي P(X=k) = C(k+r-1, r-1) * p^k * (1-p)^r، حيث C هو معامل ذو الحدين.
الخطوة 2: أدخل المعاملات المطلوبة. يجب إدخال r (عدد الإخفاقات للتوقف)، k (عدد النجاحات المرصودة قبل الإخفاق رقم r)، وp (احتمال النجاح في كل تجربة). تأكد من أن r عدد صحيح موجب، k عدد صحيح غير سالب، وp بين 0 و1. ستحسب الآلة الحاسبة P(X=k) باستخدام صيغة PMF.
الخطوة 3: تفسير النتيجة. الناتج هو احتمال رؤية عدد k بالضبط من النجاحات قبل الإخفاق رقم r. على سبيل المثال، إذا كنت تفحص عناصر حتى تجد r من العناصر المعيبة (إخفاق)، فإن احتمال العثور على k من العناصر غير المعيبة (نجاح) قبل المعيب رقم r يُعطى بهذا التوزيع. مجموع الاحتمالات على جميع k يساوي 1.
الخطوة 4: استكشاف الاحتمالات ذات الصلة. يمكنك حساب الاحتمالات التراكمية مثل P(X ≤ k) أو P(X ≥ k) عن طريق جمع الحدود المناسبة من PMF. العديد من الآلات الحاسبة توفر هذه الخيارات. القيمة المتوقعة لعدد النجاحات قبل r إخفاق هي E[X] = r * p / (1-p)، والتباين Var(X) = r * p / (1-p)^2.
الخطوة 5: تطبيق على سيناريوهات واقعية. يُستخدم التوزيع السالب ذو الحدين على نطاق واسع في هندسة الموثوقية (عدد الإخفاقات قبل عدد معين من النجاحات)، والتأمين (عدد المطالبات قبل عتبة معينة)، وعلم الأوبئة (عدد حالات الانتقال قبل إجراءات السيطرة). تحقق دائمًا من أن التجارب مستقلة وموزعة بشكل متطابق.
أمثلة محلولة
تطبيقات عملية على التوزيع ذو الحدين السالب بخطوات الحل كاملة.
الحل
المعطيات: r = 2 (توقف بعد العنصر المعيب الثاني)، k = 3 (عدد العناصر غير المعيبة قبل المعيب الثاني)، p = 0.9 (احتمال أن يكون العنصر غير معيب، النجاح). باستخدام دالة الكتلة الاحتمالية للتوزيع السالب ذو الحدين: P(X=3) = C(3+2-1, 2-1) * p^3 * (1-p)^2 = C(4,1) * (0.9)^3 * (0.1)^2 = 4 * 0.729 * 0.01 = 0.02916. إذن الاحتمال حوالي 2.916%. هذا يعني أنه في حوالي 2.9% من عمليات الفحص هذه، سيجد المفتش 3 عناصر جيدة بالضبط قبل مواجهة العنصر المعيب الثاني. القيمة المتوقعة لعدد العناصر الجيدة قبل المعيب الثاني هي E[X] = r*p/(1-p) = 2*0.9/0.1 = 18. التوزيع منحرف لأن p مرتفع؛ في معظم الأحيان سترى العديد من العناصر الجيدة قبل عيوبين.
الحل
المعطيات: r = 5 (توقف بعد 5 إخفاقات)، k = 8 (عدد النجاحات قبل الإخفاق الخامس)، p = 0.6 (احتمال النجاح). دالة الكتلة الاحتمالية: P(X=8) = C(8+5-1, 5-1) * (0.6)^8 * (0.4)^5 = C(12,4) * 0.6^8 * 0.4^5. احسب C(12,4) = 495. 0.6^8 = 0.01679616، 0.4^5 = 0.01024. اضرب: 495 * 0.01679616 * 0.01024 = 495 * 0.00017198 ≈ 0.08513. إذن الاحتمال حوالي 8.513%. هذا يعني أنه إذا تكررت التجربة عدة مرات، ففي حوالي 8.5% من المرات سيكون هناك 8 مستجيبين بالضبط قبل اللامستجيب الخامس. القيمة المتوقعة لعدد المستجيبين هي E[X] = 5*0.6/0.4 = 7.5. احتمال 8 قريب من المتوسط، وهو أمر نموذجي لتوزيع غير منحرف جدًا.
أمثلة محسوبة
قيم مُدخَلة ونتيجة محسوبة فعليًا بواسطة التوزيع ذو الحدين السالب.
قيم مُدخَلة قياسية
- r
- 5
- k
- 10
- p
- 0.5
قيم مُدخَلة مرتفعة
- r
- 9
- k
- 17
- p
- 0.85
قيم مُدخَلة منخفضة
- r
- 2
- k
- 3
- p
- 0.1