دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي

نريد P(X ≤ 130) حيث X ~ N(100, 15²). أولاً، نحسب الدرجة المعيارية: z = (130 - 100) / 15 = 30 / 15 = 2. هذا يعني أن 130 تبعد انحرافين معياريين فوق المتوسط. الآن نحتاج Φ(2)، الاحتمال التراكمي للتوزيع الطبيعي المعياري عند z=2. باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري أو صيغة دالة الخطأ: Φ(2) = 0.5 * [1 + erf(2 / √2)] = 0.5 * [1 + erf(√2)]. قيمة دالة الخطأ erf(√2) ≈ 0.9545، وبالتالي Φ(2) ≈ 0.5 * (1 + 0.9545) = 0.5 * 1.9545 = 0.97725. إذن الاحتمال حوالي 0.9772 أو 97.72%. وهذا يعني أن حوالي 97.72% من السكان لديهم درجة ذكاء 130 أو أقل. بالمقابل، احتمال أن يكون لديهم درجة ذكاء فوق 130 هو حوالي 2.28%.

نحتاج P(X > 180) = 1 - P(X ≤ 180). نجد z = (180 - 165) / 7 = 15 / 7 ≈ 2.1429. ثم Φ(2.1429) ≈ 0.9839 (باستخدام الجدول أو الصيغة). إذن P(X > 180) = 1 - 0.9839 = 0.0161، أو حوالي 1.61%. هذا يشير إلى أن حوالي 1.61% فقط من النساء في هذه المجموعة أطول من 180 سم. يستخدم الحساب قاعدة المكمل: بالنسبة للتوزيع المستمر، المساحة تحت المنحنى إلى يمين قيمة معينة تساوي 1 ناقص المساحة إلى اليسار. الدرجة المعيارية 2.14 تعني أن 180 سم تبعد أكثر من انحرافين معياريين فوق المتوسط.