دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع الطبيعي

لدينا x=130، μ=100، σ=15. باستخدام صيغة دالة الكثافة للتوزيع الطبيعي: f(130) = (1/(15√(2π))) * exp(-((130-100)^2)/(2*15^2)). أولاً، احسب بسط الأس: (130-100)^2 = 900. المقام: 2*15^2 = 2*225 = 450. إذن الأس = -900/450 = -2. وبالتالي exp(-2) ≈ 0.13534. بعد ذلك، الثابت: 1/(15√(2π)) = 1/(15 * sqrt(6.283185)) ≈ 1/(15*2.50663) ≈ 1/37.5995 ≈ 0.026596. اضرب: 0.026596 * 0.13534 ≈ 0.003599. إذن دالة الكثافة عند درجة ذكاء 130 تبلغ حوالي 0.003599 لكل نقطة ذكاء. للحصول على احتمال لفترة، على سبيل المثال بين 129.5 و130.5، ستضرب في العرض (1) لتحصل على ~0.0036، ولكن هذا تقريب فقط. الاحتمال الدقيق لتلك الفترة هو تكامل دالة الكثافة على ذلك النطاق. في الممارسة العملية، نستخدم الاحتمالات التراكمية للفترات. قيمة دالة الكثافة هذه هي الأعلى عند المتوسط (x=100) حيث f(100)≈0.0266، لذا فإن درجة ذكاء 130 أقل احتمالًا (من حيث الكثافة) بنحو 13.5% من المتوسط.

المعلمات: x=160 سم، μ=175 سم، σ=7 سم. احسب الأس: (160-175)^2 = (-15)^2 = 225. المقام: 2*7^2 = 2*49 = 98. الأس = -225/98 ≈ -2.2959. exp(-2.2959) ≈ 0.1007. الثابت: 1/(7√(2π)) = 1/(7*2.50663) = 1/17.5464 ≈ 0.05698. اضرب: 0.05698 * 0.1007 ≈ 0.00574. إذن دالة الكثافة عند 160 سم تبلغ حوالي 0.00574 لكل سم. هذه قيمة منخفضة لأن 160 سم أقل بكثير من المتوسط. الذروة عند المتوسط (175 سم) تبلغ حوالي 0.05698، لذا فإن الكثافة عند 160 سم تمثل حوالي 10% من الذروة. إذا كنت تريد احتمال أن يكون طول رجل عشوائي بين 159.5 و160.5 سم، فستقربه كـ 0.00574 * 1 = 0.00574، أو 0.574%.