اختبار z لنسبة واحدة

لدينا اختبار ذو ذيل يميني. الخطوة 1: تحديد القيم: p̂ = 155/200 = 0.775، p₀ = 0.70، n = 200. التحقق من الافتراضات: n*p₀ = 200*0.7 = 140 ≥ 10، n*(1-p₀) = 200*0.3 = 60 ≥ 10، لذا التقريب الطبيعي صالح. الخطوة 2: حساب إحصائية الاختبار: z = (0.775 - 0.70) / sqrt(0.70*0.30/200) = 0.075 / sqrt(0.00105) ≈ 0.075 / 0.0324 ≈ 2.315. الخطوة 3: القيمة الاحتمالية للذيل اليميني: P(Z > 2.315). باستخدام جدول التوزيع الطبيعي، P(Z < 2.315) ≈ 0.9896، إذن p-value = 1 - 0.9896 = 0.0104. الخطوة 4: مقارنة p-value بـ α = 0.05: 0.0104 < 0.05، نرفض H₀. الاستنتاج: هناك دليل كاف عند مستوى دلالة 5% لاستنتاج أن النسبة الحقيقية للعملاء الراضين أكبر من 70%. تشير قيمة z البالغة 2.315 إلى أن نسبة العينة تبتعد عن النسبة المفترضة بحوالي 2.3 خطأ معياري، وهو أمر غير محتمل تحت فرضية العدم.

هذا اختبار ثنائي الذيل. الخطوة 1: p̂ = 60/500 = 0.12، p₀ = 0.10، n = 500. التحقق: n*p₀ = 50 ≥ 10، n*(1-p₀) = 450 ≥ 10، مقبول. الخطوة 2: z = (0.12 - 0.10) / sqrt(0.10*0.90/500) = 0.02 / sqrt(0.00018) = 0.02 / 0.013416 ≈ 1.491. الخطوة 3: لاختبار ثنائي الذيل، p-value = 2 * P(Z > |1.491|) = 2 * (1 - P(Z < 1.491)). من الجدول، P(Z < 1.49) ≈ 0.9319، لذا p-value ≈ 2 * (1 - 0.9319) = 2 * 0.0681 = 0.1362. الخطوة 4: بما أن p-value = 0.1362 > α = 0.01، لا نرفض H₀. الاستنتاج: لا يوجد دليل كاف عند مستوى دلالة 1% لاستنتاج أن نسبة مستخدمي اليد اليسرى تختلف عن 10%. يمكن أن يكون الفرق الملاحظ بنسبة 2 نقطة مئوية ناتجاً عن تباين العينة العشوائي. لاحظ أن استخدام α أكثر صرامة يجعل رفض الفرضية أصعب.