خطوات الاستخدام
1. **صياغة الفرضيات**: ابدأ بتحديد الفرضية الصفرية والبديلة. تنص الفرضية الصفرية (H0) على أن متوسط العينة يساوي متوسط المجتمع (μ = μ0). أما الفرضية البديلة (Ha) فقد تكون أحادية الاتجاه (μ < μ0 أو μ > μ0) أو ثنائية الاتجاه (μ ≠ μ0)، وذلك حسب سؤال البحث. هذه الخطوة حاسمة لأنها تحدد اتجاه الاختبار وكيفية حساب القيمة الاحتمالية.
2. **حساب إحصاء z**: استخدم الصيغة z = (x̄ - μ) / (σ / √n)، حيث x̄ هو متوسط العينة، μ هو متوسط المجتمع تحت الفرضية الصفرية، σ هو الانحراف المعياري للمجتمع، و n هو حجم العينة. تقيس هذه الصيغة عدد الأخطاء المعيارية التي ينحرف بها متوسط العينة عن متوسط المجتمع. تشير قيمة z المطلقة الكبيرة إلى دليل قوي ضد الفرضية الصفرية.
3. **إيجاد القيمة الاحتمالية**: القيمة الاحتمالية هي احتمال ملاحظة إحصاء z متطرف مثل المحسوب أو أكثر تطرفًا، بافتراض أن الفرضية الصفرية صحيحة. بالنسبة للاختبار ثنائي الاتجاه، اضرب الاحتمال أحادي الاتجاه في 2. استخدم التوزيع الطبيعي المعياري (جدول z) أو برنامج إحصائي للحصول على القيمة الاحتمالية. القيمة الاحتمالية الصغيرة (عادة < 0.05) تشير إلى أن متوسط العينة يختلف بشكل كبير عن متوسط المجتمع.
4. **اتخاذ القرار**: قارن القيمة الاحتمالية بمستوى الأهمية (α، غالبًا 0.05). إذا كانت القيمة الاحتمالية ≤ α، ارفض الفرضية الصفرية واستنتج أن هناك فرقًا ذا دلالة إحصائية. إذا كانت القيمة الاحتمالية > α، فلا ترفض الفرضية الصفرية. يجب تفسير هذا القرار في سياق بحثك، مع مراعاة الأهمية العملية أيضًا.
أمثلة محلولة
تطبيقات عملية على اختبار z لعينة واحدة بخطوات الحل كاملة.
الحل
**الخطوة 1: صياغة الفرضيات**
- الفرضية الصفرية (H0): μ = 1200
- الفرضية البديلة (Ha): μ ≠ 1200 (ثنائي الاتجاه)
**الخطوة 2: حساب إحصاء z**
المعطيات: x̄ = 1180، μ = 1200، σ = 100، n = 100
z = (1180 - 1200) / (100 / √100) = (-20) / (100 / 10) = (-20) / 10 = -2.0
**الخطوة 3: إيجاد القيمة الاحتمالية**
باستخدام التوزيع الطبيعي المعياري، احتمال z = -2.0 في الذيل الأيسر هو حوالي 0.0228. للاختبار ثنائي الاتجاه، نضاعف هذا: القيمة الاحتمالية = 2 * 0.0228 = 0.0456.
**الخطوة 4: اتخاذ القرار**
مستوى الأهمية α = 0.05. بما أن القيمة الاحتمالية (0.0456) < α (0.05)، نرفض الفرضية الصفرية. هناك دليل كافٍ لاستنتاج أن متوسط عمر المصابيح يختلف عن 1200 ساعة. لا يدعم الادعاء عند مستوى دلالة 5%.
الحل
**الخطوة 1: صياغة الفرضيات**
- H0: μ = 110
- Ha: μ > 110 (يميني)
**الخطوة 2: حساب إحصاء z**
المعطيات: x̄ = 115، μ = 110، σ = 15، n = 25
z = (115 - 110) / (15 / √25) = 5 / (15 / 5) = 5 / 3 = 1.6667
**الخطوة 3: إيجاد القيمة الاحتمالية**
القيمة الاحتمالية للاختبار اليميني هي احتمال أن z > 1.6667. من جدول z، المساحة على يسار 1.6667 حوالي 0.9522، إذن مساحة الذيل الأيمن هي 1 - 0.9522 = 0.0478.
**الخطوة 4: اتخاذ القرار**
α = 0.01. بما أن القيمة الاحتمالية (0.0478) > α (0.01)، فإننا لا نرفض الفرضية الصفرية. لا يوجد دليل كافٍ لاستنتاج أن متوسط معدل الذكاء أكبر من 110 عند مستوى دلالة 1%.
أمثلة محسوبة
قيم مُدخَلة ونتيجة محسوبة فعليًا بواسطة اختبار z لعينة واحدة.
قيم مُدخَلة قياسية
- متوسط العينة (x̄)
- 52
- متوسط المجتمع (μ₀)
- 50
- σ السكان
- 10
- حجم العينة (n)
- 30
- نوع الاختبار
- two
قيم مُدخَلة مرتفعة
- متوسط العينة (x̄)
- 104
- متوسط المجتمع (μ₀)
- 100
- σ السكان
- 17
- حجم العينة (n)
- 51
- نوع الاختبار
- right
قيم مُدخَلة منخفضة
- متوسط العينة (x̄)
- 26
- متوسط المجتمع (μ₀)
- 25
- σ السكان
- 2
- حجم العينة (n)
- 8
- نوع الاختبار
- left
قيم مُدخَلة قياسية
- متوسط العينة (x̄)
- 80
- متوسط المجتمع (μ₀)
- 80
- σ السكان
- 80
- حجم العينة (n)
- 80
- نوع الاختبار
- right