تحليل التباين أحادي الاتجاه

لنقم بتحليل تفصيلي لتحليل التباين أحادي الاتجاه.

أولاً، احسب متوسطات المجموعات:

الطريقة أ: (85+90+78+92)/4 = 345/4 = 86.25

الطريقة ب: (70+75+80+68)/4 = 293/4 = 73.25

الطريقة ج: (95+88+91+84)/4 = 358/4 = 89.5

المتوسط العام (الوسط الكلي) = (85+90+78+92+70+75+80+68+95+88+91+84)/12 = (345+293+358)/12 = 996/12 = 83.

الآن احسب مجموع المربعات:

SSB = Σ n_i (x̄_i - x̄)^2 = 4*(86.25-83)^2 + 4*(73.25-83)^2 + 4*(89.5-83)^2

= 4*(3.25)^2 + 4*(-9.75)^2 + 4*(6.5)^2

= 4*10.5625 + 4*95.0625 + 4*42.25

= 42.25 + 380.25 + 169 = 591.5

SSW = Σ Σ (x_ij - x̄_i)^2:

للطريقة أ: (85-86.25)^2 + (90-86.25)^2 + (78-86.25)^2 + (92-86.25)^2 = 1.5625 + 14.0625 + 68.0625 + 33.0625 = 116.75

للطريقة ب: (70-73.25)^2 + (75-73.25)^2 + (80-73.25)^2 + (68-73.25)^2 = 10.5625 + 3.0625 + 45.5625 + 27.5625 = 86.75

للطريقة ج: (95-89.5)^2 + (88-89.5)^2 + (91-89.5)^2 + (84-89.5)^2 = 30.25 + 2.25 + 2.25 + 30.25 = 65

SSW = 116.75 + 86.75 + 65 = 268.5

درجات الحرية:

df_between = k-1 = 3-1 = 2

df_within = N-k = 12-3 = 9

متوسطات المربعات:

MSB = SSB/df_between = 591.5/2 = 295.75

MSW = SSW/df_within = 268.5/9 = 29.8333...

إحصاء F = MSB/MSW = 295.75 / 29.8333 ≈ 9.913

الآن أوجد قيمة F الحرجة من توزيع F مع df1=2, df2=9 عند α=0.05. باستخدام جدول أو حاسبة F، F الحرج ≈ 4.256. بما أن 9.913 > 4.256، نرفض الفرضية الصفرية. هذا يعني أن طريقة تدريس واحدة على الأقل تؤدي إلى درجات مختلفة بشكل كبير.

قيمة p: لـ F=9.913 مع 2 و 9 درجات حرية، p ≈ 0.0049، وهي أقل من 0.05. لذلك، هناك دليل قوي على وجود اختلافات بين الطرق. اختبار ما بعد التحليل سيكشف عن الأزواج المختلفة. على سبيل المثال، الطريقة ب (متوسط 73.25) تختلف على الأرجح عن الطريقتين أ وج.

لدينا ثلاث مجموعات: لا شيء (ن=4)، عضوي (ن=4)، كيميائي (ن=4). المجموع الكلي N=12.

متوسطات المجموعات:

لا شيء: (12+15+10+13)/4 = 50/4 = 12.5

عضوي: (20+22+18+19)/4 = 79/4 = 19.75

كيميائي: (25+28+24+26)/4 = 103/4 = 25.75

المتوسط العام = (50+79+103)/12 = 232/12 ≈ 19.3333

SSB = 4*(12.5-19.3333)^2 + 4*(19.75-19.3333)^2 + 4*(25.75-19.3333)^2

= 4*(-6.8333)^2 + 4*(0.4167)^2 + 4*(6.4167)^2

= 4*46.6944 + 4*0.1736 + 4*41.1944

= 186.7776 + 0.6944 + 164.7776 = 352.2496 ≈ 352.25

SSW:

لا شيء: (12-12.5)^2+(15-12.5)^2+(10-12.5)^2+(13-12.5)^2 = 0.25+6.25+6.25+0.25 = 13

عضوي: (20-19.75)^2+(22-19.75)^2+(18-19.75)^2+(19-19.75)^2 = 0.0625+5.0625+3.0625+0.5625 = 8.75

كيميائي: (25-25.75)^2+(28-25.75)^2+(24-25.75)^2+(26-25.75)^2 = 0.5625+5.0625+3.0625+0.0625 = 8.75

SSW = 13+8.75+8.75 = 30.5

df_between = 2, df_within = 9

MSB = 352.25/2 = 176.125, MSW = 30.5/9 ≈ 3.3889

F = 176.125 / 3.3889 ≈ 51.97

F الحرج عند α=0.05 مع (2,9) هو 4.256. بما أن 51.97 >> 4.256، قيمة p صغيرة جداً (<0.001). نرفض الفرضية الصفرية. هناك دليل قوي جداً على أن نوع السماد يؤثر على النمو. المتوسطات تظهر اتجاهاً تصاعدياً واضحاً: لا شيء (12.5)، عضوي (19.75)، كيميائي (25.75). اختبارات ما بعد التحليل (مثل توكي) ستؤكد أن جميع الفروق الزوجية معنوية.