خطوات الاستخدام
أدخل البيانات المزدوجة: قدم قائمتين من الأرقام للمتغيرين X و Y. يمثل كل زوج (xi, yi) ملاحظة واحدة. تأكد من أن كلا القائمتين لهما نفس الطول، حيث أن البيانات المفقودة قد تؤدي إلى تحيز في النتيجة.
تحقق من الافتراضات: يفترض ارتباط بيرسون وجود علاقة خطية بين X و Y، وعدم وجود قيم شاذة، والتوزيع الطبيعي التقريبي لاختبار الفرضيات. استخدم الرسوم البيانية النقطية إن أمكن. القيم الشاذة يمكن أن تؤثر بشكل كبير على r.
احسب المتوسطات: احسب متوسط X (x̄) بجمع كل xi وقسمة الناتج على n. وبالمثل، احسب متوسط Y (ȳ). هذه المتوسطات ضرورية لحساب الانحرافات.
احسب الانحرافات: لكل زوج (xi, yi)، احسب: dx = xi - x̄، dy = yi - ȳ. ثم أوجد حاصل الضرب (dx * dy)، ومربعات dx (dx²)، ومربعات dy (dy²). اجمع هذه القيم لتحصل على Sxy = Σ(dx*dy)، Sxx = Σ(dx²)، Syy = Σ(dy²).
احسب r: معامل ارتباط بيرسون هو r = Sxy / √(Sxx * Syy). تتراوح القيمة بين -1 و 1. تشير r الموجبة إلى علاقة خطية طردية، والسالبة إلى علاقة عكسية، والصفر يعني عدم وجود ارتباط خطي. فسر القيمة: |r| > 0.8 قوي، 0.5-0.8 متوسط، 0.3-0.5 ضعيف، <0.3 ضعيف جداً.
أمثلة محلولة
تطبيقات عملية على معامل ارتباط بيرسون بخطوات الحل كاملة.
الحل
الخطوة 1: إدخال البيانات في الحاسبة. n = 10.
الخطوة 2: التحقق من الافتراضات: العلاقة تبدو خطية (كلما زادت ساعات الدراسة زادت الدرجات)، لا توجد قيم شاذة، البيانات موزعة تقريباً طبيعياً.
الخطوة 3: حساب المتوسطات: x̄ = (2+3+5+6+8+9+10+12+14+15)/10 = 84/10 = 8.4. ȳ = (55+60+70+72+80+85+88+90+95+98)/10 = 793/10 = 79.3.
الخطوة 4: حساب الانحرافات والمجموعات. نقوم بإنشاء جدول:
xi:2، dx=-6.4، dx²=40.96؛ yi:55، dy=-24.3، dy²=590.49، المنتج=155.52
3: dx=-5.4، dx²=29.16؛ 60: dy=-19.3، dy²=372.49، المنتج=104.22
5: dx=-3.4، dx²=11.56؛ 70: dy=-9.3، dy²=86.49، المنتج=31.62
6: dx=-2.4، dx²=5.76؛ 72: dy=-7.3، dy²=53.29، المنتج=17.52
8: dx=-0.4، dx²=0.16؛ 80: dy=0.7، dy²=0.49، المنتج=-0.28
9: dx=0.6، dx²=0.36؛ 85: dy=5.7، dy²=32.49، المنتج=3.42
10: dx=1.6، dx²=2.56؛ 88: dy=8.7، dy²=75.69، المنتج=13.92
12: dx=3.6، dx²=12.96؛ 90: dy=10.7، dy²=114.49، المنتج=38.52
14: dx=5.6، dx²=31.36؛ 95: dy=15.7، dy²=246.49، المنتج=87.92
15: dx=6.6، dx²=43.56؛ 98: dy=18.7، dy²=349.69، المنتج=123.42
Sxx = 40.96+29.16+11.56+5.76+0.16+0.36+2.56+12.96+31.36+43.56 = 178.4
Syy = 590.49+372.49+86.49+53.29+0.49+32.49+75.69+114.49+246.49+349.69 = 1922.1
Sxy = 155.52+104.22+31.62+17.52-0.28+3.42+13.92+38.52+87.92+123.42 = 575.8
الخطوة 5: r = 575.8 / جذر(178.4 * 1922.1) = 575.8 / جذر(342,000) ≈ 575.8 / 584.8 = 0.985.
التفسير: r ≈ 0.985، مما يشير إلى علاقة خطية طردية قوية جداً بين ساعات الدراسة ودرجات الامتحان. هذا يعني أنه مع زيادة ساعات الدراسة، تميل درجات الامتحان إلى الزيادة بشكل خطي تقريباً. مربع r (r² = 0.97) يعني أن 97% من التباين في درجات الامتحان يفسره تباين ساعات الدراسة.
الحل
الخطوة 1: إدخال البيانات. n = 8.
الخطوة 2: المتوسطات: x̄ = (10+12+15+18+20+22+25+30)/8 = 152/8 = 19. ȳ = (50+55+60+65+70+68+75+80)/8 = 523/8 = 65.375.
الخطوة 3: جدول الانحرافات:
xi=10، dx=-9، dx²=81؛ yi=50، dy=-15.375، dy²=236.39، المنتج=138.375
12: dx=-7، dx²=49؛ 55: dy=-10.375، dy²=107.64، المنتج=72.625
15: dx=-4، dx²=16؛ 60: dy=-5.375، dy²=28.89، المنتج=21.5
18: dx=-1، dx²=1؛ 65: dy=-0.375، dy²=0.1406، المنتج=0.375
20: dx=1، dx²=1؛ 70: dy=4.625، dy²=21.39، المنتج=4.625
22: dx=3، dx²=9؛ 68: dy=2.625، dy²=6.89، المنتج=7.875
25: dx=6، dx²=36؛ 75: dy=9.625، dy²=92.64، المنتج=57.75
30: dx=11، dx²=121؛ 80: dy=14.625، dy²=213.89، المنتج=160.875
Sxx = 81+49+16+1+1+9+36+121 = 314
Syy = 236.39+107.64+28.89+0.1406+21.39+6.89+92.64+213.89 = 708.03 (تقريباً)
Sxy = 138.375+72.625+21.5+0.375+4.625+7.875+57.75+160.875 = 464 (بالضبط)
الخطوة 4: r = 464 / جذر(314 * 708.03) = 464 / جذر(222,322) ≈ 464 / 471.7 = 0.984.
التفسير: r ≈ 0.984، ارتباط طردي قوي جداً. الإنفاق الإعلاني يرتبط خطياً بقوة مع المبيعات. لكن لاحظ أنه في الشهر السادس (X=22, Y=68) انخفضت المبيعات قليلاً من 70 إلى 68 رغم زيادة الإنفاق - وهذا الانحراف الطفيف يلتقطه r لكن الاتجاه العام قوي. r²=0.968، أي أن 96.8% من تباين المبيعات يفسره تباين الإنفاق الإعلاني.
أمثلة محسوبة
قيم مُدخَلة ونتيجة محسوبة فعليًا بواسطة معامل ارتباط بيرسون.
تحقّق مرجعي
- قيم X (مفصولة بفواصل)
- 10, 20, 30, 40, 50
- قيم Y (مفصولة بفواصل)
- 10, 20, 30, 40, 50