التوزيع التراكمي لبواسون

لدينا λ = 3.5 و k = 5. التوزيع التراكمي لبواسون هو P(X ≤ 5) = Σ_{i=0}^{5} (e^(-3.5) * 3.5^i) / i!. نحسب كل حد على حدة:

لـ i=0: (e^(-3.5) * 3.5^0) / 0! = e^(-3.5) ≈ 0.030197

لـ i=1: (e^(-3.5) * 3.5^1) / 1! = 0.030197 * 3.5 ≈ 0.105691

لـ i=2: (e^(-3.5) * 3.5^2) / 2! = 0.030197 * (12.25) / 2 = 0.030197 * 6.125 ≈ 0.184959

لـ i=3: (e^(-3.5) * 3.5^3) / 3! = 0.030197 * (42.875) / 6 = 0.030197 * 7.145833 ≈ 0.215785

لـ i=4: (e^(-3.5) * 3.5^4) / 4! = 0.030197 * (150.0625) / 24 = 0.030197 * 6.252604 ≈ 0.188812

لـ i=5: (e^(-3.5) * 3.5^5) / 5! = 0.030197 * (525.21875) / 120 = 0.030197 * 4.376823 ≈ 0.132169

المجموع: 0.030197 + 0.105691 + 0.184959 + 0.215785 + 0.188812 + 0.132169 = 0.857613. إذن P(X ≤ 5) ≈ 0.8576. هذا يعني أن هناك احتمال 85.76% أن تصل 5 مكالمات أو أقل في الدقيقة. هذا الاحتمال العالي يشير إلى أنه من الشائع جداً وجود ما يصل إلى 5 مكالمات؛ يجب تزويد مركز الاتصالات بعدد كافٍ من الموظفين لأن احتمال أكثر من 5 مكالمات هو حوالي 14.24%.

أولاً، نحسب متوسط عدد الحالات λ = 0.02% من 1000 = 0.0002 * 1000 = 0.2. إذن λ = 0.2 و k = 1. التوزيع التراكمي لبواسون هو P(X ≤ 1) = Σ_{i=0}^{1} (e^(-0.2) * 0.2^i) / i!.

لـ i=0: (e^(-0.2) * 0.2^0) / 0! = e^(-0.2) ≈ 0.8187308

لـ i=1: (e^(-0.2) * 0.2^1) / 1! = 0.8187308 * 0.2 = 0.1637462

المجموع: 0.8187308 + 0.1637462 = 0.982477. إذن P(X ≤ 1) ≈ 0.9825. هذا يعني أن هناك احتمال 98.25% أن يكون شخص واحد على الأكثر مصاباً في العينة. احتمال عدم وجود حالات هو حوالي 81.87%، ووجود حالة واحدة بالضبط هو 16.37%. احتمال حالتين أو أكثر هو فقط حوالي 1.75%، مما يوضح ندرة المرض حتى في عينة من 1000 شخص. هذا النوع من الحسابات ضروري في علم الأوبئة لمراقبة الأمراض وتخصيص الموارد.